Ken

誤解していたことを君に謝りたい を英語で教えて!

「誤解していたことを君に謝りたい」は、上記のように表せます。

would like to は、丁寧なニュアンスの「〜したい」という意味を表す表現になります。
（would love to とするとより思いが強いニュアンスになります）
apologize は「謝る」「謝罪する」などの意味を表す動詞ですが、イギリス英語では apologise と綴られます。
misunderstanding は「誤解」「勘違い」「考え違い」などの意味を表す名詞です。

例文
I would like to apologize to you for my misunderstanding. It was thoughtless.
誤解していたことを君に謝りたい。軽率だった。

※thoughtless は「軽率な」「配慮に欠ける」などの意味を表す形容詞になります。

靴の履き心地にこだわる を英語で教えて!

「靴の履き心地にこだわる」は、上記のように表せます。

be particular about 〜 は「〜にこだわる」「〜に注意を払う」などの意味を表す表現になります。
（「〜に関してうるさい」というようなニュアンスでも使われます）
comfort は「心地良さ」「快適さ」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「安心させる」「慰める」などの意味も表せます。

例文
In my case, I don't care about the design, but I’m particular about the comfort of the shoes.
私の場合は、デザインは気にしないけど、靴の履き心地にこだわる。

※in one's case で「誰々の場合」という意味を表せます。

借りたお金は返さないわけにはいかない を英語で教えて!

「借りたお金は返さないわけにはいかない」は、上記のように表せます。

have no choice but to 〜 は「〜するしか選択肢がない」「〜しないわけにはいかない」などの意味を表す表現になります。
money は「お金」という意味を表す名詞ですが、スラング的に「素晴らしい」「最高」などの意味で使われることもあります。

例文
I have no choice but to return money I borrowed. I'm gonna return it tomorrow.
借りたお金は返さないわけにはいかない。明日返すよ。

※gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。

彼の成功はできすぎ を英語で教えて!

「彼の成功はできすぎ」は、上記のように表せます。

success は「成功」「達成」「出世」などの意味を表す名詞ですが、「成功者」という意味でも使われます。
it's too good to be true は「できすぎている」「できすぎていて怪しい」などの意味を表す表現になります。
（good は「良い」「上手い」などの意味を表す形容詞ですが客観的なニュアンスがあります）

例文
His success is too good to be true, so I can't help being jealous.
彼の成功はできすぎていて、嫉妬してしまう。

※can't help 〜 ing で「〜してしまう」「〜せずにはいられない」などの意味を表せます。

いよいよ夢に近づいている を英語で教えて!

「いよいよ夢に近づいている」は、上記のように表せます。

finally は「いよいよ」「ついに」「ようやく」などの意味を表す副詞ですが、ポジティブなことに対して使われる傾向が強い表現です。
get close（closer は close の比較級）は「近づく」「接近する」などの意味を表す表現ですが、「親しくなる」という意味でも使われます。

例文
His hard work has paid off and finally he is getting closer to his dream. I'm so. excited.
彼の努力が実り、いよいよ夢に近づいている。ワクワクするよ。

※pay off は「清算する」「完済する」などの意味を表す表現ですが、「報われる」「（努力などが）実る」などの意味も表せます。