Ken

急ぎの仕事があるので、先に帰ります を英語で教えて!

「急ぎの仕事があるので、先に帰ります。」は、上記のように表せます。

urgent は「急ぎの」「緊急の」「切迫した」などの意味を表す形容詞になります。
gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。
first は「最初の」「一番目の」などの意味を表す形容詞ですが、副詞として「最初に」「先に」などの意味も表せます。

例文
Thank you for paying for the meal. I have some urgent work, so I'm gonna be back first.
ご馳走様でした。急ぎの仕事があるので、先に帰ります。

※ Thank you for paying for the meal. は（食事を奢ってもらった際の）「ご馳走様でした。」を表せるフレーズです。

明日の会議の内容が気になる を英語で教えて!

「明日の会議の内容が気になる。」は、上記のように表せます。

be concerned about 〜 は「〜が気になる」「〜を心配する」などの意味を表す表現ですが、建設的なニュアンスのある表現で、よくビジネス等で使われます。
agenda は「議題」「課題」「問題」などの意味を表す名詞ですが、「内容」というニュアンスも表せます。

例文
I'm concerned about tomorrow’s meeting agenda. I can't focus on my work.
明日の会議の内容が気になる。仕事に集中できない。

※ focus on 〜 は「〜に照準を合わせる」という意味を表す表現ですが、「〜に集中する」という意味も表せます。

ストレスのせいで不眠になった を英語で教えて!

「ストレスのせいで不眠になった。」は、上記のように表せます。

have gotten 〜（現在完了）で「〜になった」「〜になってきた」などの意味を表現できます。
get は「手に入れる」「到着する」などの意味を表す動詞ですが、よく「〜になる」「〜に変わる」などの意味でも使われます。
sleepless は「眠れない」「不眠の」などの意味を表す形容詞ですが、「油断のない」という意味も表せます。

例文
I’ve gotten sleepless due to stress. I’m gonna get treatment.
ストレスのせいで不眠になった。治療を受けるよ。

※gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。

高橋が私の後任になります を英語で教えて!

「高橋が私の後任になります。」は、上記のように表せます。

gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。
successor は「後任」「後継者」「相続人」などの意味を表す名詞です。

例文
Takahashi is gonna be my successor. He has a lot of experience, so you don't have to worry.
高橋が私の後任になります。彼は経験豊富なので、心配しなくていいですよ。

※have to は、客観的なニュアンスの「〜しなければならない」「〜する必要がある」などの意味を表す表現ですが、don't have to と否定形にすると、「〜しなくてもいい」「〜する必要はない」などの意味を表現できます。

その話を信じるわけがないよ を英語で教えて!

「その話を信じるわけがないよ。」は、上記のように表せます。

no way は「ありえない」「とんでもない」「そんなわけない」などの意味を表すスラング表現なので、there's no way 〜 で「〜なわけがない」という意味を表せます。
believe は「信じる」という意味を表す動詞ですが、「思う」というニュアンスで使われることもあります。（think より確信の度合いが高めなニュアンスです）

例文
What the hell are you saying? There's no way I believe that story.
何を言ってんの？その話を信じるわけがないよ。

※what the hell 〜 とすると、相手を非難するようなニュアンスを表現できます。