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これ以上寒くなると風邪をひいてしまう を英語で教えて!

「これ以上寒くなると風邪をひいてしまう」は上記のように表現します。
この文は （If + 現在形, will + 動詞）という仮定法で「もし〜なら、〜するだろう」という未来の可能性を表しています。
gets は get「変化する」の三人称単数現在形で、colder は cold「寒い」の比較級「より寒くなる」という意味になります。
If it gets colder 「もし寒くなったら」でも意味は通じますが、さらに、any を入れることで「これ以上・もっと」と比較級を強調する表現となります。
catch a cold は catch「つかまえる」+ a cold「風邪」で、「風邪をつかまえる（＝風邪をひく）」という意味です。

A : It's freezing today!
今日はめっちゃ寒いね！
B : Ugh, if it gets any colder, I'll catch a cold for sure.
うわー、これ以上寒くなったら絶対風邪ひいちゃうよ。
※freezing: 凍るように寒い
※for sure: 絶対に

寒い時には、我慢をせずまず体を温めてくださいね！

相性の良さは一瞬でわかる を英語で教えて!

「相性の良さは一瞬でわかる 」は上記のように表現します。
tell は 動詞で「見分ける」「判断する」という意味ですが、能力や可能性を示す助動詞 can と一緒に使うことで「相性を判断できる」という能力を表しています。
compatibility は「相性」を意味する名詞、in an instant は「一瞬のうちに」という意味の前置詞句ですが、tell 「見分ける」という動作が非常に短い時間で行われることを示しています。

例文
You can tell compatibility in an instant when you meet someone.
誰かと会ったとき、相性の良さは一瞬でわかる。

ちなみに、相性を表す英語表現として compatibility は恋愛やビジネスなど長期的な相性を指します。そのほかにも恋愛や友情においてフィーリングが合うかどうかは chemistry や、「（誰かと）気が合う・意気投合する」という意味のカジュアルな表現では click with someone といったフレーズを使用したりもします。

We have great chemistry.
私たちは相性が良い。
I clicked with her right away.
私は彼女とすぐに打ち解けた。

シチュエーションに合わせて、使い分けてくださいね！

時計を見間違えたせい を英語で教えて!

1. because I misread the clock.
「時計を見間違えたせい」という表現です。
the clock は 「アナログ時計」という意味で「アナログ時計の針を勘違いした」など、時計そのものの表示を見間違えた 場合に使われやすいフレーズです。

misread は「読み間違える」という意味の動詞の過去形です。現在形・過去形・過去分詞形がすべて同じつづりですので、間違えないようにしてくださいね。

例文
I missed the train because I misread the clock.
時計を見間違えたせいで、電車に乗り遅れた。
※miss ～を逃す

2. because I misread the time.
「時計を見間違えたせい」という表現です。
1.が アナログ時計を見間違うという意味だったのに対し、デジタル時計やスケジュールなどの時刻を見間違えた際に使います。

例文
I missed the train because I misread the time.
時間を見間違えたせいで、電車に乗り遅れた。

どちらも日常的に使える表現ですので、ぜひ覚えてくださいね！

たまたま聞こえた を英語で教えて!

「たまたま聞こえた」は上記のように表現します。
最も自然でよく使われており、happen to ～ は 「偶然～する」 という意味なので、「たまたま聞こえた」をシンプルに表すことができます。
happen という単語自体は「起こる」という意味の動詞ですが、happen to + 動詞の原形になると「偶然（たまたま）～する」になります。

例文
I happened to hear the news on TV.
たまたまテレビでそのニュースを聞いた。
※the news そのニュース

it は 聞いた内容 を指し、例えば the story「その話」や the news「そのニュース」などに置き換えることが可能です。

ぜひ参考にしていただけると幸いです！

映像配信が切断された を英語で教えて!

「映像配信が切断された」は上記のように表現します。
ライブ配信やオンライン動画の切断を表す際に日常的によく使われているカジュアルなフレーズです。もともと、The stream は「流れ」という意味ですが、インターネット配信（特にリアルタイムのストリーミング）を指すときにも使われます。

The stream ( 主語 ) + got ( 動詞：getの過去形 ) + disconnected ( 動詞：disconnect の過去分詞 ) は、「get + 過去分詞」 の受動態の形になります。
もともとdisconnect は「切断する」という動詞ですが、この文では受け身の形になるため、自分ではなく外的要因で「切断された」「接続が切れた」という意味になります。

例文
Oh no, the stream got disconnected again!
あーあ、また配信が切れちゃった！

映像配信が切断された際には、ぜひ使ってみてくださいね！