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難儀をかける を英語で教えて!

1. I caused trouble with my mother.
母には迷惑をかけてきました。

「to cause trouble」で「迷惑をかける」という意味です。難儀するというのは、困る、悩むという意味なので、「母は私のことで難儀をしていました」というのは、上記の言い方で表すことができます。

I caused trouble with my mother all the time.
私はいつも母に迷惑をかけていました。

2. I made my mother worry about me.
母には苦労をかけました。

「worry about~」で「～を心配する」「～について気をもむ」「～を悩む」という意味です。直訳すると、「私は私について母親に心配をかけた」となりますので、すなわち「母には苦労をかけた」「母は私のことで気をもんだ」という表現になります。「make ~do」で「～に○○させる」というイディオムになります。このmake の使い方は様々な場面で活用できます。

（服の）埃を払う を英語で教えて!

「（服の）埃を払う」は上記のように表現します。

「dust off」は「ほこり、ちりを払う」という意味のイディオムです。clothes は「服」「衣類」「服装」という意味です。「dust off」の後に目的語を置いて使います。衣服以外でも、例えば「dust off the shelf」で「棚の埃を払う」などと表現できます。

I dusted off my coat because I didn't wear it for a long time.
長い間そのコートを着ていなかったから、埃を払いました。

過去形なのでdusted になります。

念を入れて～する を英語で教えて!

「念を入れて～する」は上記のように表現します。

carefully は「注意深く」「気を付けて」「念入りに」という意味の副詞です。動詞の前につけることで、その行動を念入りに、注意深く行うことを表現できます。ちなみにcareful は形容詞で、「a careful study」「綿密な研究」などと名詞を修飾するかたちで使うと、その名詞について言い表すことができます。

Okay, we should carefully do this cleaning.
よし、念入りに掃除をするよ。

「掃除をする」は英語で「clean」ですが、例のように「do the cleaning」で「掃除をする」という言い方も一般的です。

一言でまとめると を英語で教えて!

1. To put it simply
ひと言で言うと

「to put it simply」は「一言で言うと」「簡潔に言うと」という意味のイディオムです。文頭や文中で使われます。

To put it simply, I don't want to do.
ひと言で言うと、やりたくないよ。

文頭で使う際には、カンマを置きます。

2. In a word
ひと言で言うと

こちらも「一言で言うと」「要するに」「手っ取り早く言えば」という意味のイディオムです。

In a word, no.
ひと言で言うと、だめだよ。

話がうまく運ぶ を英語で教えて!

「話がうまく運ぶ」は上記のように表現します。

conversation は「会話」「話」という意味です。「work out」は「うまくいく」「良い結果になる」という意味の日常会話頻出イディオムです。同じ意味で「go well」もよく使います。

I hope that things will work out well between us.
話がうまく運ぶことを願っています。

上記では分かりやすくconversation を使いましたが、例のように「things work out well」で「物事がうまくいきますように」という意味なので、そこに含まれる会話も含めて表現できます。「between us」は直訳すると「私たちの間で」という意味なので、ご質問者さんと契約者さんの間のことを指しています。