Takemikan

あの看板なんて書いてあるの？ を英語で教えて!

What does that sign say?
あの看板はなんて書いてあるの？

Look! What does that sign say?
見て!あの看板はなんて書いてあるの？

無難な訳です。sign は「看板」ですが、他には類語で billboard「広告塔」「看板」 や traffic sign「交通標識」 などあるので、状況に応じて使い分けられます。単純に sign が一番伝わりやすいですが、Which sign!?「どの看板？！」になるのが落ちです。
余談ですが、日本語だと「看板に書いている」で直訳すると written on the sign になりますが、英語では咄嗟には What does the sign say「看板は何を言っている」になるのです。say は「言う」の訳になります。

猫吸い を英語で教えて!

1. cat huffing
猫吸い

I was busy yesterday cat huffing.
昨日は猫吸いで忙しかった。

英語圏でもかなり普及している由緒正しき行動です。語源は cat 「猫」を huff 「吸う」行動という意味になりますが、実際 huff はあぶない薬に関する行為のスラングでもあります。ただし、猫を huff するのにあまり関係ないですね。
猫吸いとは危ない薬よりも中毒性がある、とうのは英語圏でよくある冗談です。同感です。

2. burying your face in a cat's belly
猫の腹に顔をうずめる

猫吸いの行為の説明を直訳したフレーズです。face 「顔」を cat's belly 「猫の腹」に bury 「うずめる」と言う説明です。cat huffing だとかなりマニアックな人たちが使う用語でもあるので、説明する過程でこの回答も必要になると思います。

名前を大文字で書く を英語で教えて!

1. write your name in uppercase
名前を大文字で書いて

動詞の「書く」は write、「名前」は name で所有代名詞の your で誰の名前かを明確にします。

「名前を大文字で書いてください」の英文は二通り用意しました。
英語の場合だと uppercase「大文字」と lowercase 「小文字」があるので、以下の①の回答は uppercase を想定した答えとなります。
ただし英語では大抵自分の名前の頭文字は uppercase 「大文字」で書く習性はあります。もし全ての文字を大文字で書いて欲しいなら②の例文を参考にお願いします。

①Please write your name in uppercase.
名前を大文字で書いてください。

②Please write all of your name in uppercase.
貴女の名前全てを大文字で書いてください。

2. write your name in big letters
名前を大きい文字で書いて

ただ単に大きい文字で書いて欲しい場合はこちらの回答になります。uppercase を big letters に代えました。上記の例文に同じように代えても大丈夫です。

文句は言えない を英語で教えて!

1. can not complain
文句を言えない

You can't complain about it.
その事で文句は言えないよ。

「文句を言う」の意味を持つ complain を否定する事で成り立つ訳です。can complain「文句を言える」に否定の not を加える事で「文句を言えない」になります。英語なので主語も必要になる事に注意を。
補足として can not は can't と省略できます。普段は省略した can't complain を使いますね。

2. be content with what you have
今あるもので満足するべき

You should be content with what you have.
あなたは今あるべきものでまんぞくするべき。

英語の諺で訳の通り、「現状で満足するべき」の意味を持ちます。上記の回答と同じく、文句や不満を言うものに大して使う諺であります。「隣の芝生は青く見える」と似た意味合いですねえ。
会話ではフレーズそのままで使う事も出来ますが、ちゃんとした文章にするなら主語が必要になります。

流派 を英語で教えて!

1. school
流派

There are different schools of tea ceremonies.
茶道には異なる流派があります。

「流派」は英語では一般的に school と訳されています。たとえとして「アリストテレス主義」の訳となる Aritotelianism は別名として Aristotelian school of thought にもなります。この場合、「アリストテレス思考流派」に近い意味ですね。
ただし、「学校」の school とは書き方が同じなので、文脈には気を付けてください。

2. style
流

He learned the Hokushin Ittou style swordsmanship.
かれは北辰一刀流剣術を習った。

例文ではあえて何々流の使い方をしましたが、style は同例文で from 「から」を足す事で「流派」と訳せてしまいます。

He learned from the Hokushin Ittou style swordsmanship.
かれは北辰一刀流派から剣術を習った。