shuya

女性の扱いがうまい を英語で教えて!

・good at dealing with = 扱うことが上手い

例文：He is really good at dealing with girls.
　　　＝彼は女性を扱うのが上手い。

例文：You are really good with girls.
　　　＝あなたは女性といるのが上手い（扱いが上手い）

「deal with」は「〜を処理する/〜を扱う」という意味があります。
今回の質問の通りに直訳するなら１つ目の例文の方が文章としては良いと思います。
ですが会話の中では２つ目の例文のように言っても問題ないと思いますよ。

女の子を追いかける を英語で教えて!

・chasing girls =女の子を追いかける

例文：He was always chasing girls when he was child.
　　　＝彼は子供の頃、女の子をいつも追いかけていたよ。

例文：He kept chasing girls at that time.
　　　＝彼はあの時、女の子を追いかけてばかりいた。

ここで補足したいのが「〜してばかり」の表現ですね。
「～してばかり・ずっと～している＝keep＋動詞ing」で表現をすることができます。
また「always」はニュアンスとして「それ以外何もしていないくらいいつも」と頻度の高い言葉ですよ。

書き出す を英語で教えて!

・write down = 書き留める

例文：You can write down something on paper when you don't know what to do.
　　　＝もし何をすべきか分からないときは、紙に書き出してみるというと思うよ。

もちろん「write」だけでも通じないことはないと思います。
ただ「write down」の方が「何かを書き留めて可視化する」ようなイメージがあります。
また別表現として「put down」も同じような意味で使うこともできますので覚えておくといいと思います。

書き下ろし小説 を英語で教えて!

・brand-new novel = 書き下ろし小説

例文：That author just finished a brand-new novel.
　　＝その作家は書き下ろし小説をちょうど書き終えたところだ。

例文：I would like to read a brand-new novel by the favorite author.
　　　＝私はお気に入りの作家の書き下ろし小説を読みたいと思っています。

「brand」は日本語の「ブランド」にあたりますが、これは「商標、品種、銘柄」を表す言葉になります。
なので「brand-new novel」は「その人の商標を持った新しい小説」つまり「その人のブランドの書き下ろし小説」となる訳です。

書いて覚える を英語で教えて!

・memorize by writing = 書くことで覚える

例文：It is not effective that you memorize words of english by only writing.
　　　＝書いて英単語を覚えるだけでは効果的ではないよ。

この場合の「by」は「〜によって」と訳すことができます。
なので「memorize by writing」＝「書くことによって覚える＝書いて覚える」という表現になります。
また「only =〜だけ」となりますが、これは「writing」の直前におくことで「書くだけ」を強調できますね。