Hiro

至急ご連絡ください を英語で教えて!

「ASAP」は「as soon as possible」の略です。「少しでも早く、できるだけ早く」という意味になります。ご質問の「至急連絡をお願いします」は命令形で「Contact me ASAP」で基本良いでしょうが、上司の方になら以下の方がいいでしょう。

（訳例）
Could you contact me ASAP.
（至急ご連絡いただけますでしょうか。）

あとは、
（訳例）
I look forward to your contact ASAP.
（できるだけ早くご連絡をお待ちしております。）

という表現もいいですね。ご参考になれば幸いです。

私利私欲のない人 を英語で教えて!

「私利私欲」が「self-interest」になるので、「without」をつけて「a person without self-interest」とすれば「私利私欲の無い人」という意味になります。

ご質問をアレンジして以下の例文を作りました。
（例文）
Foreign Minister Jutaro Komura was a man who lived according to his own beliefs without self-interest.
（小村寿太郎外務大臣は利己的ではなく、自分の信念に従って生きた人だった。）

ご参考になれば幸いです。

私の元気の源 を英語で教えて!

「source of energy」の意味は「エネルギー源」ですので即ち「元気の源」ですね。

（例文）
Mr. Shohei Ohtani is a person who is considered as a source of warmth and energy.
(大谷翔平氏は、暖かさと元気の源と考えられている人物です。)

「私の元気の源は家族です」は以下が適訳と考えます。
（訳例）
My source of energy is my family.
(私の力の源は家族です。)

「strength（強さ）」に置き換えてもいいですよ。

ご参考になれば幸いです。

私の記憶が正しければ、〇〇だった気がする！ を英語で教えて!

「if my memory is correct」で「私の記憶が正しければ」という仮定法になります。
（例文）
If my memory is correct, you like sweets.
（私の記憶が正しければ、君は甘いものが好きですよね。）

ご質問の「私の記憶が正しければ、このお店にくるのは初めてではない気がする」として訳すると以下が適訳と考えます。

（訳例）
If my memory is correct, I feel like it's not the first time I've come to this store.
（私の記憶が正しければ、この店に来るのは初めてではなかった＝二回目ような気がします。）

お店は「cafe」かもしれないし「restaurant」かもしれないですね。

ご参考になれば幸いです。

私のせいにしないで。 を英語で教えて!

ご質問をアレンジして「太ったからって私のせいにしないでよ〜」として訳すると以下が適訳と考えます。

（訳例）
Don't hold me responsible for your getting fat.
（あなたが太ったことについて私に責任を負わせないでください。）

ここでの注目は「hold someone responsible」というイディオムです。Cambridge Dictionaryには「TO BLAME SOMEONE FOR SOMETHING（誰かのせいにする）」という解説があるのでご紹介します。

ご参考になれば幸いです。