Ken

キャンセルや払い戻しは一切できません を英語で教えて!

We can’t accept cancellations or refunds completely.
キャンセルや払い戻しは一切できません。

we can't 〜 は「私達は〜はできない」という意味を表す表現ですが、よく「〜は禁止です」というニュアンスでも使われます。また、completely は「一切」「完全に」などの意味を表す副詞です。

As we have stated in advance, we can’t accept cancellations or refunds completely.
（事前に伝えました通り、キャンセルや払い戻しは一切できません。）

You can’t cancel or get refunds completely.
キャンセルや払い戻しは一切できません。

you can't 〜 は「〜できない」という意味を表す表現ですが、（子供などに対して）「〜しちゃダメ」というニュアンスでも使われます。

By the way, you can’t cancel or get refunds completely.
（ちなみに、キャンセルや払い戻しは一切できません。）
※by the way（ちなみに、ところで、そういえば、など）

覚えてもらえてて光栄です を英語で教えて!

I'm honored that you remembered me.
覚えてもらえてて光栄です。

be honored で、「光栄に思う」「誇りに思う」などの意味を表す表現になります。また、「覚えている」「思い出す」などの意味を表す動詞です。

Thank you so much. I'm honored that you remembered me.
（ありがとうございます。覚えてもらえてて光栄です。）

It's a honor that you remembered me.
覚えてもらえてて光栄です。

honor は「光栄」「名誉」などの意味を表す名詞になります。

It's a honor that you remembered me. I'm overwhelmed.
（覚えてもらえてて光栄です。感激です。）

ギフト用ラッピング承ります を英語で教えて!

We can provide gift wrapping.
ギフト用ラッピング承ります。

provide は「提供する」「供給する」などの意味を表す動詞ですが、「養う」「扶養する」などの意味も表せます。また、wrap は「包む」「覆う」などの意味を表す動詞ですが、名詞として「包装紙」という意味も表せます。

If you wish, we can provide gift wrapping.
（ご希望の場合、ギフト用ラッピング承ります。）

Gift wrapping is available.
ギフト用ラッピング承ります。

available は「得られる」「利用できる」などの意味を表す形容詞になります。

It will be a charge, gift wrapping is available.
（有料になりますが、ギフト用ラッピング承ります。）

結局新しいものを買う を英語で教えて!

end up buy a new thing
結局新しいものを買う

end up 〜 で「結局〜になる」「最終的に〜なる」などの意味を表せます。また、buy は「買う」と言う意味を表す動詞ですが、名詞として「購入」や「格安品」などの意味を表せます。
※ thing は「もの」や「こと」などの意味を表す名詞ですが、「得意なこと」「好きなこと」などの意味で使われることもあります。

My smartphone stopped working so I ended up having to buy a new thing.
（スマホが動かなくなったので、結局新しいものを買わなければならなくなった。）
※ end up having to 〜（結局は〜しなければならなくなる）

乗車券は別途ご購入ください を英語で教えて!

Could you purchase tickets separately?
乗車券は別途ご購入ください。

could you 〜 ? は、丁寧なニュアンスの「〜してください」「〜していただけますか？」などの意味を表す表現になります。また、ticket は「乗車券」「切符」「チケット」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「発券する」「違反切符を切る」などの意味を表せます。
※ separately は「別途」「別々に」などの意味を表す副詞です。

We apologize, but could you purchase tickets separately?
（申し訳ございません、乗車券は別途ご購入ください。）

Please purchase tickets separately.
乗車券は別途ご購入ください。

please は「〜してください」という意味を表す丁寧な表現ですが、命令形のニュアンスも含む表現なので、少し上から目線な感じが出ます。

We can’t do that. Please purchase tickets separately.
（それはできません。乗車券は別途ご購入ください。）