Ken

この写真懐かしいね を英語で教えて!

This photo brings back memories.
この写真懐かしいね。

photograph（写真）は、よく photo と略されます。また、bring back memories は、直訳すると「思い出を呼び戻す」という意味になりますが、よく「懐かしい」という意味で使われます。

This photo brings back memories. Do you remember this place?
（この写真懐かしいね。この場所覚えてる？）

This picture is nostalgic.
この写真懐かしいね。

picture は「絵」「絵画」などの意味を表す名詞ですが、「写真」という意味も表せます。また、nostalgic も「懐かしい」という意味を表す形容詞ですが、こちらは少し物悲しいニュアンスを含む表現になります。

This picture is nostalgic. I want to go back there someday.
（この写真懐かしいね。またいつか行きたいな。）

他店の方が１円でも安い場合はお申し付けください を英語で教えて!

Other stores set cheaper prices even 1 yen, let us know.
他店の方が１円でも安い場合はお申し付けください。

store は「店」という意味を表す名詞ですが、「販売のみを行う店」に対して使われる表現になります。また、price は「価格」「値段」などの意味を表す名詞ですが、prices と複数形にして「物価」という意味でも使われます。
※ store は動詞として「保管する」「蓄える」などの意味を表せます。

In the unlikely event that other stores set cheaper prices even 1 yen, let us know.
（万が一、他店の方が１円でも安い場合はお申し付けください。）
※ In the unlikely event（万が一）

次元が違う を英語で教えて!

You are in another dimension.
次元が違う。

dimension は「寸法」「範囲」などの意味を表す名詞ですが、「次元」という意味でも使われます。

It’s amazing. He's in another dimension compared to me.
（凄いな。私とは次元が違うよ。）

You are a different breed.
次元が違う。

different breed は「違う品種」「違う種族」などの意味を表す表現ですが、人に対して（褒め言葉的に）「次元が違う」「レベルが違う」というような使い方もできます。

I can't believe it, you are a different breed.
（信じられない。君は次元が違うよ。）

貴重な情報をもたらした を英語で教えて!

You brought valuable information.
貴重な情報をもたらした。

bring（brought は bring の過去形、過去分詞形）は「持ってくる」「連れてくる」などの意味を表す動詞ですが、「もたらす」というニュアンスでも使えます。また、valuable は「貴重な」「価値がある」などの意味を表す形容詞です。

He brought valuable information to the company.
（彼は会社に貴重な情報をもたらした。）

You provided precious info.
貴重な情報をもたらした。

provide は「もたらす」「提供する」などの意味を表す動詞ですが、「養う」という意味も表せます。また、precious も「貴重な」という意味を表す形容詞ですが、valuable と比べて、主観的なニュアンスが強めな表現になります。
※ information（情報）は、よく info と略されます。

They provided precious info to us
（彼等は我々に貴重な情報をもたらした。）

改善の余地はかなりある を英語で教えて!

There is room for improvement considerably.
改善の余地はかなりある。

there is 〜 や there are 〜 は「〜がある」という意味を表す表現ですが、基本的に、聞き手にとって新しい情報を伝える際に使われます。また、room for improvement で「改善の余地」という意味を表せます。
※ considerably は「かなり」「相当」などの意味を表す副詞です。

Frankly, there is room for improvement considerably.
（率直に言うと、改善の余地はかなりある。）

There is pretty room for improvement.
改善の余地はかなりある。

pretty は「かわいい」という意味を表す形容詞ですが、副詞として「かなり」という意味も表せます。

There is pretty room for improvement, so could you wait a moment?
（改善の余地はかなりあるので、少々お待ちいただけますか？）