Ken

最後の望みだね を英語で教えて!

It's the last hope.
最後の望みだね。

last は「最後の」「終わりの」という意味を表す形容詞ですが、「続いてきたものの最後」というニュアンスがある表現になります。（動詞てして「続く」「持続する」などの意味も表せます。）また、hope は「希望」「望み」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「希望する」「望む」などの意味も表せます。

It's the last hope. To be honest, I have high expectations about it.
（最後の望みだね。正直、かなり期待してるよ。）

It's the final hope.
最後の望みだね。

final も「最後の」という意味を表す形容詞ですが last に比べて、少し固いニュアンスがあります。

Let's try your idea. It's the final hope.
（君のアイデアを試そう。最後の望みだね。）

回線業者 を英語で教えて!

telecommunications carrier
回線業者

telecommunication は「電気通信」「遠隔通信」などの意味を表す名詞になります。また、carrier は「運搬人」「運搬装置」などの意味を表す名詞ですが、「業者」という意味も表せます。

The telecommunications carrier is coming to my house today, so I have to wait.
（今日は回線業者が家に来るので、待たなきゃいけない。）

telecom operator
回線業者

telecommunication は telecom と略されることもあります。また、operator は「運転者」「操作者」などの意味を表す名詞ですが、「通信士」という意味も表せます。

Suddenly, the internet connection was cut off, so I called the telecom operator.
（突然、ネットが繋がらなくなったのですが、回線業者に電話した。）

異端児 を英語で教えて!

maverick
異端児

maverick は「異端者」「異端児」「集団に属さない人」などの意味を表す名詞ですが、「焼印のない牛」という意味で使われることもあります。

I'm a normal person, but I'm called a maverick in this industry.
（私は普通の人間ですが、この業界では、異端児と呼ばれています。）

nonconformist
異端児

nonconformist も「異端者」「異端児」などの意味を表す名詞ですが、maverick と比べて、異端の度合いが高めなニュアンスがあります。

He appeared suddenly as a nonconformist in an industry that was stagnating.
（停滞していたこの業界に、彼が突然異端児として現れたんだ。）

割合に応じて を英語で教えて!

depending on the proportion
割合に応じて

depending on 〜 で「〜よって」「〜に応じて」などの意味を表せます。また、proportion は「割合」「比率」などの意味を表す名詞ですが、「部分」「釣り合い」などの意味も表せます。

In the case of success fees, the amount of the fee varies depending on the proportion.
（成功報酬の場合、割合に応じて報酬額が違う。）

depending on the ratio
割合に応じて

ratio も「割合」「比率」などの意味を表す名詞ですが、こちらは「２つの対象の割合」を表す表現になります。

We should decide on our share depending on the ratio.
（割合に応じて、取り分を決めるべきだ。）

手違いがある を英語で教えて!

There is a mistake.
手違いがある。

there is 〜 や there are 〜は「〜がある」という意味を表す表現ですが、基本的に、聞き手にとって新しい情報を伝える際に使われる表現になります。また、mistake は「間違い」「手違い」などの意味を表す名詞ですが、あまり使われない表現ですが、動詞として「勘違いする」「見間違う」などの意味も表現できます。

There was a slight mistake so I would like to cancel the order I just put.
（ちょっとした手違いがありまして、先程の注文をキャンセルして頂きたいのですが。）