Ken

あなたの自転車を借りてもいいですか？ を英語で教えて!

Can I borrow your bike?
（あなたの自転車を借りてもいいですか？）

can I 〜 ? で「〜していいですか？」という意味を表せます。bike は「バイク」のことではなく、「自転車」という意味になります。
※ちなみに「バイク」の場合は、英語で motorbike となります。

It will take a long time to walk, so can I borrow your bicycle?
（徒歩だとけっこう時間がかかるので、あなたの自転車を借りてもいいですか？）

少しややこしいのですが、自分視点で「借りる」の場合は、borrow になり、相手視点で「貸す」になると lend になります。

I want to get this to the hospital as soon as possible, so can you lend me your bicycle?
（これを出来るだけ早く病院に届けたいので、あなたの自転車を貸してもらえますか？）
※ as soon as possible は「出来るだけ早く」を表すフレーズで、よく ASAP と略されます。

あなたの名前をもう一度教えてもらえますか？ を英語で教えて!

May I have your name again?
（あなたの名前をもう一度教えてもらえますか？ ）

May I have 〜? で「〜をいただけますか？」という意味を表せまするのですが、「名前を伺う」という際にも使えます。

I'm sorry, may I have your name again?
（申し訳ない、あなたの名前をもう一度教えてもらえますか？）

I wanna check it later, so can I get your name once more?
（後でチェックしたいから、あなたの名前もう一度教えてもらえますか？）
※ wanna は want to を略したスラング表現になります。

上記の may I ?はかなり丁寧なニュアンス表現になりますが、can I ? の場合はもっとカジュアルよりな表現になります。

あの頃は〜だった を英語で教えて!

back then, 〜 was
（あの頃は〜だった）

back then は「あの頃は」や「当時は」というような意味でよく使われる言い回しになります。

Back then, our company was small, but I had fun every day.
（あの頃は、会社は小さかったが、毎日楽しかった。）

in those days, 〜 was
（あの頃は〜だった）

in those days も多少固いニュアンスですが「あの頃は」という意味を表せます。また似た表現で these days と言うと「最近」という意味を表せます。

In those days, the economy was bad, so I had a hard time.
（あの頃は、景気が悪かったので、苦労したよ。）

あなたのことを信じています を英語で教えて!

I believe in you.
（あなたのことを信じています。）

believe は「信じる」という意味を表す代表的な表現ですが、「思う」というニュアンスでも使われます。（think よりも「強く思う」というニュアンス）

I believe in you. You should play as usual.
（あなたのことを信じています。いつものようにプレイしてください。）

I trust you.
（あなたのことを信じています。）

believe が、"その人に付随する何かを信じる"というニュアンスなのに対し、trust の場合は、"その人の人間性を信じる"というニュアンスになります。

I trust you. There's no way you would do such a cowardly thing.
（あなたのことを信じています。あなたがそんな卑怯なことをするはずがない。）

アジェンダはありますか を英語で教えて!

Do you have any agendas?
（アジェンダはありますか？）

ビジネスなどで言う「アジェンダ」は英語の agenda（議題、課題、など）をカタカナで表現したものになります。

Do you have any agendas you’d like to discuss?
（皆さんから議論したいアジェンダはありますか？）

Are there any agendas?
（アジェンダはありますか？）

are there? や is there? でも「ありますか？」という意味を表現出来ますが、do you have? のような「あなたが持ってる」「あなたが所有している」というニュアンスは表現しません。

By the way, are there any agendas regarding 〇〇?
（ちなみに、〇〇に関して、アジェンダはありますか？）
※by the way（ちなみに、ところで、など）

※ちなみに any という表現は 上記では"（アジェンダが）あるかないかわからないけど"というニュアンスを表しています。