Ken

あなたがいなくて寂しい を英語で教えて!

I'm lonely that you aren't here.
あなたがいなくて寂しい。

lonely は「孤独な」「ひとりぼっちな」などの意味を表す形容詞ですが、「寂しい」という意味も表せます。

Where are you now? I'm lonely that you aren't here.
（今どこにいるの？あなたがいなくて寂しい。）

I feel lonesome that you aren't here.
あなたがいなくて寂しい。

lonesome も「孤独な」「寂しい」などの意味を表す形容詞ですが、lonely と比べて、詩的なニュアンスのある表現になります。

I feel lonesome that you aren't here. Come back soon.
（あなたがいなくて寂しい。早く帰ってきて。）

大丈夫だよ！・気にしないで！ を英語で教えて!

I'm fine!
大丈夫だよ！・気にしないで！

fine は「良い」「元気な」「素敵な」などの意味を表す形容詞ですが、よく「大丈夫」「問題ない」などのニュアンスで使われます。

Thank you for your concern, but I'm fine!
（心配してくれてありがとう、でも大丈夫だよ！）

Don't mind!
大丈夫だよ！・気にしないで！

mind は「心」「精神」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「気にする」「嫌がる」などの意味も表せます。

The deadline is next week, so don't mind!
（締め切りは来週だから、気にしないで！）

○○性格 を英語で教えて!

〇〇 personality
〇〇性格

personality は「性格」「個性」などの意味を表す名詞ですが、こちらは「人と人との関係性の中に生じる性格」のことを表す表現になります。

He has a calm personality so you don’t have to worry.
（彼は穏やかな性格だから、心配する必要はないよ。）

〇〇 character
〇〇性格

character も「性格」という意味を表す名詞ですが、こちらは「その人本人に元々備わっている性格」というニュアンスの表現です。

I'm worried about my son because he has a stubborn character.
（息子は、頑固な性格なので心配です。）

すぐ行きます を英語で教えて!

I'm gonna be there immediately.
すぐ行きます。

gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。また、immediately は「すぐに」「即座に」などの意味を表す副詞ですが、急ぎのニュアンスが強めの表現になります。

Thank you for contacting me. I'm gonna be there immediately.
（ご連絡ありがとうございます。すぐ行きます。）

I'll be there soon.
すぐ行きます。

soon も「すぐに」という意味を表す副詞ですが、こちらは幅のある表現で、「近いうちに」というようなニュアンスでも使われます。

I got it. I'll be there soon.
（わかりました。すぐ行きます。）

新しいシステムについての詳細を教えてください を英語で教えて!

「新しいシステムについての詳細を教えてください。」は、上記のように表現することができます。

could you 〜 ? は、丁寧なニュアンスの「〜してください」「〜してくれますか？」などの意味を表す表現になります。また、tell は「教える」という意味を表す動詞ですが、「知っていることを伝える」という意味の「教える」を表す表現になります。
※ system は「システム」「系統」「組織」などの意味を表す名詞ですが、「手順」という意味も表せます。

I’m sorry to bother you, but could you tell me some details about the new system?
（お手数ですが、新しいシステムについての詳細を教えてください。）