Ken

このメールを全員に共有してください を英語で教えて!

「このメールを全員に共有してください。」は、上記のように表現することができます。

could you 〜 ? は、丁寧なニュアンスの「〜してください」「〜してくれますか？」などの意味を表す表現になります。また、share は「分け合う」「共有する」などの意味を表す動詞ですが、名詞としては「分け前」「共有」などの意味に加えて「株式」という意味も表せます。
※ email は electronic mail の略で「メール（電子メール）」という意味を表す名詞ですが、動詞として「メール（電子メール）を送る」という意味も表現できます。

I’m sorry to bother you, but could you share this email with everyone?
（お手数ですが、このメールを全員に共有してください。）

締め切りを延ばしてもらえますか？ を英語で教えて!

「締め切りを延ばしてもらえますか？」は、上記のように表現することができます。

could you 〜 ? は、丁寧なニュアンスの「〜してください」「〜してもらえますか？」などの意味を表す表現になります。また、extend は「伸ばす」という意味を表す動詞ですが、物理的な意味に限らず、（期日などを）「延ばす」という意味も表せます。
※ deadline は「死線」という意味を表す名詞ですが、「締め切り」「納期」「期限」などの意味でよく使われる表現です。

That's a little bit hard. Could you extend the deadline?
（それは少し厳しいです。締め切りを延ばしてもらえますか？）

適当に何か作るよ を英語で教えて!

「適当に何か作るよ。」は、上記のように表現することができます。

gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。また、make は「作る」「料理する」などの意味を表す動詞ですが、使役動詞として（強いニュアンスの）「〜させる」という意味も表します。
※ randomly は「（ネガティブな意味の）適当に」「成り行きまかせに」などの意味を表す副詞です。

I haven't decided yet. I'm gonna make something randomly with whatever’s in the fridge.
（決めてない。冷蔵庫にあるもので適当に何か作るよ。）

適切な処置をする を英語で教えて!

「適切な処置をする」は、上記のように表現することができます。

appropriate は「適切な」「ふさわしい」などの意味を表す形容詞ですが、動詞として「使用する」「私物化する」「横領する」などの意味を表せます。また、measure は「処置」「対策」「措置」などの意味を表す名詞ですが、「定規」「尺度」「専攻科目」などの意味も表現できます。

I got it. Please rest assured that we are gonna take appropriate measures.
（わかりました。適切な処置をするのでご安心ください。）
※gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。

この課題についてディスカッションしましょう を英語で教えて!

「この課題についてディスカッションしましょう。」は、上記のように表現することができます。

should は「〜した方がいい」「〜するべき」「〜なはず」などの意味を表す助動詞ですが、カジュアルに「〜しよう」「〜して」といったニュアンスでも使えます。また、discuss は「議論する」「話し合う」などの意味を表す動詞ですが、「審議する」という意味で使われることもあります。
※ problem は「問題」「課題」などの意味を表す名詞ですが、「解決されるべきネガティブな課題」というニュアンスのある表現です。

We should discuss this problem towards a solution.
（解決に向けて、この課題についてディスカッションしましょう。）