Ken

きっかけ を英語で教えて!

1. trigger
きっかけ

こちらは「引き金」「起爆装置」などの意味を表す名詞ですが、比喩的に「きっかけ」という意味でも使われます。また、動詞として「引き金を引く」「誘発する」などの意味も表せます。

The trigger for me to start cycling was because everyone in my family was doing it.
（サイクリングを始めたきっかけは、家族みんながやっていたからです。）

2. catalyst
きっかけ

こちらも「きっかけ」という意味を表す名詞ですが、こちらは「促進するもの」「刺激する人」などの意味でも使われます。

I will explain the catalyst that caused the accident.
（アクシデントが起こったきっかけについて、説明します。）

ペットショップで新しいおもちゃを買ってあげよう を英語で教えて!

「ペットショップで新しいおもちゃを買ってあげよう。」は、上記のように表します。

should は「〜した方がいい」「〜するべき」「〜なはず」などの意味を表す助動詞ですが、カジュアルに「〜しよう」「〜して」といったニュアンスでも使えます。
また、buy は「買う」「購入する」などの意味を表す動詞ですが、名詞として「買い付け」「格安品」などの意味も表せます。
shop は「店」という意味を表す名詞ですが、動詞としては「買い物をする」という意味を表現できます。

This one is old, so we should buy you a new toy at the pet shop.
（これ古いから、ペットショップで新しいおもちゃを買ってあげよう。

振る舞い を英語で教えて!

1. behavior
振る舞い

こちらは「振る舞い」「行動」などの意味を表す名詞ですが、「（行動からでる）態度」というニュアンスでも使われます。

Between you and me, I think his gentlemanly behavior is nice.
（ここだけの話、彼の紳士的な振る舞いは素敵だと思う。）
※ gentlemanly（紳士的な、礼儀正しい、など）

2. action
振る舞い

こちらも「振る舞い」「行動」などの意味を表す名詞ですが、こちらは「行動力」という意味ま表せます。

When I was younger, I often used to emulate his actions.
（若い頃は、よく彼の振る舞いを真似しましたよ。）

そのハンバーガーどう？ を英語で教えて!

1. What do you think of that hamburger?
そのハンバーガーどう？

what do you think of 〜 ? で「〜をどう思う？」「〜はどう？」などの意味を表現できます。
※ちなみに hamburger（ハンバーガー）を使った表現で hamburger without buns（パンなしのハンバーガー）と言うと「ハンバーグ」という意味を表せます。

What do you think of that hamburger? Is it tasty?
（そのハンバーガーどう？美味しい？）

2. What do you think of that burger?
そのハンバーガーどう？

hamburger は、よく burger と略されます。

What do you think of that burger? Give me a bite.
（そのハンバーガーどう？一口ちょうだい。）

おもちゃで犬と遊んで を英語で教えて!

「おもちゃで犬と遊んで。」は、上記のように表します。

can you 〜 ? は、カジュアルなニュアンスの「〜してください」「〜してくれますか？」などの意味を表す表現になります。また、play は「遊ぶ」「演奏する」「（スポーツを）プレーする」「演じる」などの意味を表す動詞ですが、「遊ぶ」の場合、「子供のするような遊び」に対して使われる傾向があります。
toy は「おもちゃ」「玩具」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「遊ぶ」という意味で使われることもあります。
※ちなみに dog（犬）は、スラング的に「仲間」「友達」などの意味で使われたりもします。

He looks bored, so can you play with the dog using toys?
（退屈そうだから、おもちゃで犬と遊んで。）