Ken

頑張ります を英語で教えて!

1. I'm gonna do my best.
頑張ります。

gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。
また、do は「する」「やる」などの意味を表す動詞ですが「やり遂げる」「成し遂げる」などのニュアンスで使われることもあります。
best は good の最上級で「最高の」「最善の」などの意味を表す形容詞ですが、客観的なニュアンスのある表現になります。

I'm gonna do my best. I'm confident.
（頑張ります。自信ありますよ。）

2. I'll try my best.
頑張ります。

try my best も「頑張る」という意味を表す表現ですが、こちらは、「難しいと感じていることに対して頑張る」というニュアンスが少しある表現です。

I don't have experience, but I'll try my best.
（経験はないけど、頑張ります。）

数年前にレンズの無いメガネをかけることが一時的に流行ってました。 を英語で教えて!

「数年前にレンズの無いメガネをかけることが一時的に流行ってました。 」は、上記のように表します。

wear は「着る」「着ている」などの意味を表す動詞ですが、服に限らず「（メガネを）かける」「（帽子を）かぶる」などの意味でも使えます。
また、glasses は「メガネ」「ガラス」などの意味を表す名詞で、「メガネ」はレンズが２つ付いているので、「メガネ」という意味で使う際は常に複数形で表現されます。
temporarily は「一時的に」「仮に」などの意味を表す副詞です。

I don't remember the details, but a few years ago wearing glasses without lenses was popular temporarily.
（詳しくは覚えていませんが、数年前にレンズの無いメガネをかけることが一時的に流行ってました。）

彼女は思い付きで行動します。 を英語で教えて!

1. She acts on a whim.
彼女は思い付きで行動します。

act は「行動」「振る舞い」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「行動する」「振る舞う」などの意味も表せます。また、whim は「思い付き」「気まぐれ」「でき心」などの意味を表す名詞です。

Between you and me, she acts on a whim.
（ここだけの話、彼女は思い付きで行動します。）

2. She acts on impulse.
彼女は思い付きで行動します。

impulse は「衝動」「欲求」などの意味を表す名詞になります。

She acts on impulse, so you should be careful.
（彼女は思い付きで行動するから、気を付けた方がいいよ。）

関東地方 を英語で教えて!

1. Kanto region
関東地方

region は「地方」「地域」などの意味を表す名詞ですが、「政治的に区分けされた地区」というニュアンスのある表現になります。

Next, I’m going to tell you about the weather in the Kanto region.
（次は、関東地方の天気をお伝えします。）

2. Kanto area
関東地方

area も「地方」「地域」などの意味を表せる名詞ですが、こちらは region と比べると、範囲が狭いニュアンスがあります。

I often go to the Kanto area because I have clients there.
（クライアントがいるので、よく関東地方には行きますよ。）

歯を磨くのを忘れないでくださいね。 を英語で教えて!

「歯を磨くのを忘れないでくださいね。」は、上記のように表します。

please は「〜してください」という意味を表す丁寧な表現ですが、命令形のニュアンスも含まれる表現なので、少し上から目線な感じが出ます。また、forget は「忘れる」という意味を表す動詞ですが、「思い出せない」という意味でも使われます。
brush は「ブラシをかける」「歯磨きをする」などの意味を表す動詞ですが、名詞として「ブラシ」「歯ブラシ」などの意味も表現できます。

What are you doing? Please don't forget to brush your teeth.
（何やってるの？歯を磨くのを忘れないでくださいね。）