Ken

現代の生活に欠かせない を英語で教えて!

「現代の生活に欠かせない」は、上記のように表せます。

essential は「必要な」「不可欠な」などの意味を表す形容詞ですが、似た表現の necessary と比べて、必要度の度合いが高めなニュアンスになります。
contemporary は「現代の」「現代的な」などの意味を表す形容詞ですが、「当代の」「同時代の」などの意味も表せます。

例文
The Internet is one of the essential tools in contemporary life.
インターネットは現代の生活に欠かせないツールのひとつです。

※tool は「道具」「工具」などの意味を表す名詞ですが、比喩的に「手段」という意味で使われることもあります。

無理をしてもしかたない を英語で教えて!

「無理をしてもしかたない」は、上記のように表せます。

it's not worth 〜 ing で、「〜する価値がない」「「〜してもしかたない」などの意味を表せます。
push oneself は「無理をする」「自分を追い込む」などの意味を表す表現になります。

例文
It's not worth pushing yourself, so you should take a break.
無理をしてもしかたない、少し休もう。　

※break は「壊れる」「故障する」などの意味を表す動詞ですが、名詞として「休み」「休憩」などの意味を表せるので、take a break で「休憩を取る」「休む」などの意味を表せます。

手当たり次第に誘ってみた を英語で教えて!

「手当たり次第に誘ってみた」は、上記のように表せます。

try 〜 ing で「〜してみる」「〜を試みる」などの意味を表現できます。
invite は「誘う」という意味を表す動詞ですが、「招く」「招待する」などの意味でも使われます。
indiscriminately は「無差別に」「見境なく」などの意味を表す副詞なので、「手当たり次第」というニュアンスでも使えます。

例文
I didn't wanna go alone, so I tried inviting everyone indiscriminately.
一人で行きたくなかったので、手当たり次第に誘ってみた。

※want to（wanna は want to を略したスラング表現です）は、直接的でカジュアルなニュアンスの「〜したい」という意味を表す表現になります。

至るところに警備員が配置されていた を英語で教えて!

「至るところに警備員が配置されていた」は、上記のように表せます。

there is 〜 や there are 〜 は「〜がある」という意味を表す表現ですが、基本的に、聞き手にとって新しい情報を伝える際に使われる表現になります。
security guard は「警備員」「ガードマン」などの意味を表す表現です。
station は「駅」「事業所」などの意味を表す名詞ですが、動詞として（人を）「配置する」「派遣する」などの意味も表現できます。

例文
There were security guards stationed everywhere at the venue.
その会場には至るところに警備員が配置されていた。

疲れていると、家事ができないときがある を英語で教えて!

「疲れていると、家事ができないときがある」は、上記のように表せます。

tired は「疲れている」「疲労している」などの意味を表す形容詞ですが「飽きている」という意味も表せます。
housework は「家事」という意味を表す名詞で、不可算名詞になります。
sometimes は「時々」「たまに」などの意味を表す副詞ですが、「〜なこともある」というニュアンスを表すために使うこともできます。

例文
Me too. When I'm tired, I can't do housework sometimes.
私もそうだよ。疲れていると、家事ができないときがあるよね。

※too は「〜過ぎる」「余りに〜」などの意味を表す副詞ですが、「〜もまた」という意味も表せます。