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鼻で笑う を英語で教えて!

「sneer」も「snicker」も、「軽蔑や嘲笑」の含まれた笑いの意味があります。
「She sneered in response. 彼女は冷笑してそれに応えた。」
「Stop snickering. People learn differently and they are trying their best. 笑うのをやめなよ。みんな学び方は違って、それぞれが頑張ってるんだから。」
上記の例文のように使えます。

「mock」は「あざ笑う」という意味です。
「His tone was mocking. 彼の口調はあざ笑っていた。」

いずれの単語も、見下した感じや意地悪な感じが含まれている笑いの時に使えます。

お礼にご飯をごちそうします を英語で教えて!

「Let me treat you to pay you back.」が一番簡単に「お礼にご飯をご馳走するね！」の英語表現かと思います。
「treat: 奢る」「pay back: 返済する、借りを返す」です。ちなみに「pay back」は「仕返しをする」と言ったネガティヴな行動でも使います。

「I appreciate your help. Let me treat you lunch in return!」は「手助けしてくれて感謝しています。お礼にランチを奢らせてください。」くらいの感じですね。
「appreciate: 感謝する」「in return: 〜の見返りに」です。

参考になれば幸いです。

ぎっくり腰 を英語で教えて!

Acuteは「急性の」で、「acute low back pain」で急性腰痛となりますので、ぎっくり腰と伝わります。
背中は「back」、腰は「lower back」と言いますね。

Acuteがとっさに出てこなくても、「sudden low back pain」（突然の腰の痛み）や「sharp pain in lower back」（腰の鋭い痛み）などで言い表すことができます。

ちなみに「慢性的な腰の痛み」は「chronic: 慢性的な」を使って「chronic low back pain」と言えばOKです。

参考になれば幸いです。

髪を伸ばしている を英語で教えて!

髪を伸ばす時には「grow：成長する、伸ばす」と言う動詞が使えます。
「I'm growing out my hair./I'm growing my hair out.」と言えば、
「髪の毛伸ばしてるの。」ということですね。（outの位置はどちらでも大丈夫です。）

ご質問の「成人式のために髪を長く伸ばしている」なら
「I'm growing my hair out for the coming-of-age ceremony.」でOKです。

そのほか、髪に関する英語は「前髪：fringe」を覚えておくと便利です。
私の住んでいるカナダでは「How would you like your fringe?（前髪はどうしますか？）」などと聞かれます。

参考になれば幸いです。

気になってきた を英語で教えて!

「I'm getting curious.」「I'm getting interested.」どちらも、
「気になってきた」と言いたい時に使えます。
interestedは「興味がある」、curiousは「もの好きな、好奇心をそそるような」です。
I'm curious about it.などと言えば、「それに対して知りたい、興味がある」となります。

ご質問の「ドラマの最終回が気になってきた」は
「I'm getting curious about the last episode of the TV drama.」などと言えますね。

もっとドラマにはまっていて、最終回が待ち遠しい時には
「I cannot wait for the last episode!（最終回が待ちきれない！待ち遠しい！）」です。
next episodeにすれば、次のエピソードが待ちきれない、となります。

ご参考まで。