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自己紹介

よろしくお願いします。

ピーカン晴れ を英語で教えて!

「ピーカン晴れ」は日本語での快晴の表現ですので、英語で「雲一つない晴れ」のような天気は上記で表すことができます。
good weather は「天気がいい」という意味で、sunny weather は「晴れた天気」という意味ですので言い換えることもできます。

with no cloud：雲が一つもなく
without a cloud も雲がない状態を言いますが、雲が「全くない」状態をいうときは with no cloud の方がニュアンスが伝わりやすいです。

Today is good weather with no cloud.
今日はピーカン晴れだ。

ちなみに、太陽が照っている状態のことを blazing hot day とも言いますが、この場合は blazing が「燃えるような」の意味なので、ネイティブには、灼熱の暑い日(猛暑日)と思われてしまいます。

今日こそ を英語で教えて!

直訳すると、「今日はその日だ」となりますが、この後に to～「～するために、するのに」を付けると「今日こそ～する(日だ)」の意味になります。

例文
Today is the day to go to bed early.
今日こそ早く寝る。

Today is the day to clean up my room.
今日こそ部屋の掃除をする。

Today is the day to break up with my boyfriend.
今日こそは彼氏と別れる。

ちなみに、「明日こそ」はTomorrow is the dayと言います。
例）
Tomorrow is the day to start diet!
明日こそダイエットする！

びよびよ を英語で教えて!

「びよびよ」は擬音語なので直訳できる英語がないのですが、ゴムが伸び切ってしまっている状態を言いたいのかと思いますので stretched out がいいかと思います。
stretch は日本語でも使う「ストレッチ」の意味で、「伸ばす」の意味、stretch out で「伸びきっている」ことを表します。

This rubber is stretched out, so can't be used any more.
このゴムはびよびよで使えない。

rubber：ゴム
ヘアゴムであればhair tieと言います。

is stretched out：伸び切ってしまっている
can't be used any more：もう使えない
ちなみに can't be used more であれば「これ以上は使えない」の意味になります。

今後に期待 を英語で教えて!

「今後に期待する」の直訳は、look forward to the future となります。

look forward to～：～に期待する

the future：未来、今後、これから

例文
Please look forward to the future
今後にご期待ください。

I am looking forward to the future.
今後に期待している。

意訳ですが、次への期待を促す、楽しみにさせるようにあおるときは、物語や展開が続くことを示す英語表現 to be continued を使うことが多いです。
ドラマやアニメの最後にもよく表示されているかと思います。

今後の展開 を英語で教えて!

future「未来の、今後の、この先」のprospect「見通し、展望、展開」で future prospect と言い表すことができます。

ご質問の文章は下記のような英訳になります。

Let's discuss future prospect.
今後の展開を話し合いましょう。

Let's～：～しましょう
「～しませんか？」の場合は、How about～？Why don't we～？とも言えます。

How about discussing future prospect? (aboutの後なのでing形になります。)
Why don't we discuss future prospect?
今後の展開を話し合いませんか？

talkも「話す、話し合う」の意味ですが、特定のトピックや問題について詳細に話し合う場合は discuss を使います。
discuss は他動詞なので前置詞 about は不要です。
ちなみに talk は基本的に自動詞として使用されるので about が必要です。