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街に慣れた を英語で教えて!

1. I got used to this town.
この街に慣れました。

「get/become used to~」で「～に慣れる」という意味です。例文は、getが過去形のgotになっています。to以降には、名詞、動詞の原形、動名詞がきます。似たイディオムで「used to~」というのがありますが、こちらは「かつて、昔はよく～をした」と言う意味なので、混合しないように気を付けましょう。

2. I became familiar with this community.
この地域に慣れたよ。

「become familiar with~」は「～に親しみを覚える、～に慣れる（日常になる）」という意味です。withの後には名詞をおきます。こちらも例文はbecomeを過去形のbecameを用いています。「community」は「地域社会」「集団」などを意味する言葉で、townよりももう少し小さい規模の集まりを表しています。

背を向けてはだめだよ を英語で教えて!

1. You can't just run away.
逃げてはいけないよ。

「run away」は「逃げ出す」という意味で、「困難などから逃げる、避ける」という時にもよく使用されます。

You can't just run away every time things get hard.
困難に直面するたびにただ逃げてはいけないよ。

「every time things get hard」は直訳すると「物事が大変になるたびに」という意味なので、ご質問内容のような状況で、友達に伝えたい時に適格な表現です。

2.You can't just turn away.
背を向けてはいけないよ。

「turn away」は「向きを変える」「引き返す」という意味から、「you can't just turn away」と言うと「引き返してはいけない」、すなわち「背を向けてはいけない」「見ないようにしてはいけない」と言った意味になります。

You can't just turn away things you don't like.
嫌なことから背を向けてはいけないよ。

「things you don't like」は「あなたが好きではないこと」となりますので、嫌なことや困難なことを表しています。

これからは良くなる一方だ を英語で教えて!

1. It's only going to get better.

「get better」は「良くなる」という意味で、「It is going to ~」で今後、未来のことを表現しています。
ご質問内容には、「一方」という言葉が含まれているので、こちらは「only」で表します。この表現は、「It's only going to get harder」「It's only going to get worse」で「これからは大変になる一方だ」といった反対のことを表す表現もよく使われます。

2.It can only get better.
良くなる一方だよ。

例1とほとんど似ていますが「can」を使っているので、直訳すると「良くなることができるよ」となりますが、すなわち「良くなる一方だよ」という意味になります。「これからは」ということを強調されたい場合は語尾に「from here」や「from now on」をつけるとよいでしょう。

彼女は鈍い を英語で教えて!

She is a little insensitive.
彼女は少し鈍いところがある。

「insensitive」は「人の気持ちに対して無神経な、思いやりのない、耳を貸さない、鈍感な」などを表現する際に使われる形容詞です。「insensitive person」「無神経な人」ということもできます。

2. She is not aware of my feelings at all.
彼女は私の気持ちに全く気付いていないんだ。

英語はその状況や起こったこと、感情を、単語一つで言うよりも説明して言い表す言語なので、例2のような言い方も一般的です。「aware of~」で「～に気付いている、知っている、分かっている」という意味なので、鈍感な人を言い表す時は、否定形のかたちでof以降に何に対して鈍感なのかを付け加えると、言いたいことを表現できるでしょう。

ぜんぜんやる気が出ない を英語で教えて!

1. I don't have motivation to do anything.
何にもやる気が起きないよ。

「motivation」は「やる気」「意欲」「動機付け」などを意味します。「I don't have motivation」で「やる気が起きない、やる気がしない」で、そこに「to do anything」をつけることで、「何にも」「何をするのも」というニュアンスが含まれます。

2. I can't get motivated.
やる気になれないんだ。
「get motivated」で「意欲がわく」「やる気になる」「やる気が起こる」という意味になります。こちらも例1と同様にtoの後にやる気になれない対象を置いて言い表すことができます。例えば、「I can't get motivated to clean my room」「部屋を掃除する気になれない」、「I can't get motivated to exercise」「運動する気になれない」などです。

3.I feel like I don't want to do anything.
なんか何にもしたくない気分だ。

「I feel like」は「～な感じ、～な気分」という表現です。「I feel like」の後には主語と動詞で構成されている節をもってきます。
「ぜんぜんやる気が出ない」ということはすなわち「何にもしたくない」と言い換えて表現しているのが上記の例文です。