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髪をドライヤーで乾かして を英語で教えて!

Dry your hair (with hair dryer).
「髪をドライヤーで乾かして」

乾かすはdryです。親が子供に対して言っていることから、動詞から始まる文章で「〜して」の訳になりますが、
例えば何度も言って聞かなかった場合はお願い口調pleaseが文頭につきます。
例)Please dry your hair.
（髪の毛を乾かしてください。）

（）内は「ドライヤーで」の意味を持ちますが省略が可能です。理由は髪を乾かすものはヘアードライヤーしかないので言わなくても分かると言うことです。

ただ、注意点として日本語でいうドライヤーはヘアドライヤーを指しますが、英語でのdryer（ドライヤー）は洗濯の乾燥機を指します。髪の毛を乾かすドライヤーはhair dryerと言います。

次の信号でUターンしよう を英語で教えて!

Let’s make a U turn at the next traffic light.
「次の信号でUターンしよう」

Let’s は「〜しよう」と
提案する時に使われる言い回しです。
Let’s have a party tonight.「今夜パーティをしよう」Let’s start a meeting now.「会議を始めましょう」と、カジュアルな場面でもフォーマルな場面でも使われます。

Uターンは英語でもそのままU turnですが、U turnをするはmake a U turnといいます。例えば右に曲がる、左側で停車する場合でも、make a right turn,make a stop at the leftと「〜する」の意味でmakeが使われます。

信号機はtraffic lightです。直訳で「交通の電気」と言う意味で信号機です。例文では次の信号機で、なのでnext traffic lightとなります。

スマホと自転車の鍵、どこに置いたっけ？ を英語で教えて!

Where did I put a iPhone and bicycle key?
「スマホと自転車の鍵、どこに置いたっけ？」

最初のwhereは「どこ」と言う意味の疑問詞です。
疑問文の場合その後にbe動詞が入ります。この例で言うとdidの部分がbe動詞です。主語は私なのでI。
putは「置く」の意味を持つ動詞です。

スマホはスマートフォン（Smart phone）の略なので、英語ではPhoneと言います。これがiPhoneだった場合Phoneの部分をiPhoneに変えることもできます。

自転車は英語でbicycleです。学生時代にbike＝自転車と習いましたが実際、アメリカなどでは自転車はbicycleと言われており、モーターバイクなどのバイクはmoter bikeです。

中身が気になる を英語で教えて!

I’m curious what is inside.
「中身が気になる」

I’m curiousで「私は気になる」と言う意味です。
curiousは動詞ですがcuriosityで「好奇心」と言う意味の名刺にもなります。

名詞のcuriosityを使った例
She has lots of curiosity.
「彼女は好奇心旺盛」

what is insideはwhat is〜？で「〜は何？」の基本文です。例文ではinside「中身」が気になっているので、what is insideとなります。What があると文末に「？」が付くことが多いですがこの場合、誰かに質問しているわけではないので「？」はつきません。

口紅塗り損ねた を英語で教えて!

Oh,I forgot to put my lipstick on.
「あっ、口紅塗り損ねた」

初めのあっ！の部分はOh!/Ah/Oopsなど色々な言い方ができます。OhとAhはOopsよりも冷静な状況だと感じます。
Oopsは日本語で「おっと！」と石ころで躓きそうなタイミングなどで言います。
I forgot to動詞で「〜することを忘れた」という意味になります。（forgotはforget(忘れる)の過去形）
メイクをすることをput make up onと言います。
make up「化粧」をput（のせる）on（顔の（上に））と言うようなイメージです。例文のようにリップスティックになるとput my lipstick onになります。