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見てもいいですか？ を英語で教えて!

1. Can I see it?
「見てもいいですか？」

1番カジュアルな言い方です。
I can see it.「私は見えます」を疑問文にした形で、最初の2単語を反対にして「私は見てもいいですか？」の疑問文になります。

Seeは「見る」という意味ですがlookも同じ「見る」の意味があります。使い方の違いはlookは意識的に見るもの、例えばテレビを見る場合や自分が意識してみるものだと言われています。seeは自然に目に入るもの、例えば夜空に星が見える場合はI can see stars.「星が見える」などのseeを使います。

2. May I see it?
「見てもいいですか？」

よりフォーマルな言い方です。
May I〜？で「〜してもいいですか？」の意味になります。

私はまだ準備ができていないです を英語で教えて!

I’m not ready yet.
「私はまだ準備ができていないです」

Ready goやReady setなど車を発進させる際や、運動会のかけっこで言われるReady（ready）は「準備」という意味です。この例文でのreadyも「準備」の部分です。

Not ready yetで「まだ準備できていない」という意味になります。

readyの他に「準備」の意味をもつ単語でprepareがあります。「用意する、準備する、支度する」という意味の動詞です。
Readyは近い未来に対して、今すぐ準備することに対して使います。
例)I’m getting ready for shopping!
「買い物行く準備してる」
Prepareは行事や大きなイベントに対して「準備する」といったニュアンスになります。
例) We are preparing for summer festival.
「私たちは夏祭りに向けて準備しています。」

最初は寝ることができなかった を英語で教えて!

1. I couldn’t sleep at first.
「最初は寝ることができなかった」

couldn’t はcould notの省略形で意味は「できなかった」です。can「できる」の過去形です。
最後につくat firstは例文中の「最初は」の部分にあたります。この部分をright after movingと「引っ越してすぐは」の意味を持つ英語に変えることもできます。

2. It was hard to fall asleep at first.
「最初は寝ることができなかった」

直訳すると「最初は寝ることが難しかった（簡単ではなかった）」という意味になります。
It was hard to〜で「〜することが難しかった」の基本文をつくることができます。hard の部分をeasy「簡単」にすることでit was easy to〜「〜することは簡単だった」にすることもできます。

fall asleepで「眠る」という意味ですが、sleepとの違いとして「眠りにつく」というニュアンスがあります。どちらを使っても間違いではないですが、「寝る」、「眠りにつく」というような違いで覚えてください。

彼に話すべきかな？ を英語で教えて!

1. Should l talk to him?
「彼に話すべきかな？」

Should I〜？で「私は〜すべきかな？」という意味になります。後の続く英語は動詞 to 人になります。この例文ではtalkが「話す」の動詞、himが「彼に」の部分に当たります。

2. Not sure if I should talk to him.
「彼に話すべきかわからない」

〜かどうかわからない時や、決断しきれない時に使えます。始めのNot sureで「わからない」を意味しています。
If「もし/もしも」と合わせてNot sure if〜で「〜かどうかわからない」と訳せます。

人を変える場合、her「彼女」、you「あなた」と合わせて使ってみてください。

今夜泊まってもいい？ を英語で教えて!

1. Can I sleep over there tonight?
「今夜泊まってもいい？」

Can I 〜？で「〜してもいい？」というカジュアルな言い方です。sleep overは「泊まる」という意味ですが、sleep「寝て」over「明かす」という意味があり、「外泊」という意味として使われます。

友達同士が家に泊まったりするとき、withをつけて「〜と一緒に」の文もできます。
I will sleep over with you tonight.
「今日一緒に泊まるよ」

2. Do you mind if I stay there tonight?
「今夜泊まってもいい？」

1. よりも少し丁寧な言い方で、直訳すると「もし私が今日泊まったらあなたは気にしますか？？」というようなニュアンスになります。

Do you mind if 〜？で「もし〜したら気にしますか？」です。
例. Do you mind if I use bathroom now?
「今トイレ使ってもいい？（使ったら気にしますか）」
Do you mind if I take this seat?
「この椅子使っていい？（使ったら気にしますか？）」
このような使い方が出来ます。