「胸中お察しいたします」は、英語では "I understand how you feel." や "I sympathize with you." などと表現することができます。 "I understand how you feel."のunderstandをknowに変えて、"I know how you feel."にしても似たような意味になります。 また、youの部分を他の人に変えて、"I know how he feels."(彼の気持ちもわかるなぁ)のように使える表現なので覚えておくと良いでしょう。 "sympathize"は「同情する」という意味の動詞です。 "sympathize"と似た動詞で"empathize"(共感する)があります。 "sympathize"は、相手の立場を理解し、同情することで感情的なつながりを作ることを意味します。 "empathize"は、相手の感情や状況を自分自身のものとして感じ取り、理解することを意味します。
「胸を張る」は英語で "hold one's head high"と表現できます。 "hold one's head high"は、英語の慣用表現で、自分自身や自分の行動を誇りに思うこと、何かに対して恥や後ろめたさを感じず、自信を持っていることを意味します。 「〔うつむかずに胸を張って〕頭を高い位置に保つ、堂々と顔を上げる」という意味です。 「胸を張って生きていってほしい」と息子さんに向かって直接言うのであれば、 "I hope you will live with your head held high."と言えばよいと思います。 他の人に息子さんの話をするときに言うのであれば、"I hope he will live with his head held high."に変えます。
「胸やけ」 は "heartburn" と表現されます。 "heart"は、「心臓、胸」、"burn"は「焼け、焼く」、という意味なので、日本語と英語で似ていますね。 「胸やけになる」は"get heartburn" 「胸やけがする」は"have heartburn" と表現します。 「脂っこい料理」は "greasy food" と表現するので、 「脂っこい料理を食べると胸やけがします」は英語では、 "I get heartburn when I eat greasy food."と言えます。 "Greasy food gives me heartburn."と言うこともできます。
「胸のつかえが下りる」は、英語で "to feel relieved" や "to feel a weight lifted off one's chest" と表現することができます。 "to feel relieved"は「安心する」「安堵する」という意味を持つ表現です。 I feel relieved thanks to your advice.(アドバイスのおかげで安心しました。) Thanks to your advice, I feel a weight lifted off my chest.(アドバイスのおかげで、胸のつかえが取れたような気がします。) のように言うと良いと思います。
「教養を身につける」を英語で表現すると、 "to cultivate one's knowledge" や "to refine one's cultural education"などが使われます。 他にも「自己啓発をする」を意味する "to self-improve" という表現も用いられます。 「教養を身につけたいから、読書が趣味なんです。」を英語で言うと、 "I enjoy reading books because I want to cultivate my knowledge and refine my cultural education."と表現することができます。