Hiro

私に何かできる事ある？ を英語で教えて!

（１）"Is there anything I can do for you?"で訳すると「何か私にできることはありますか？」でご質問にぴったりです。somethingも使えそうなので整理しておきましょう。

Something：相手がyesと答えることを前提としている時に質問文としても使用可能です。

Anything： 「何でも（よい）」のニュアンスになります。相手がyesかnoかどちらで答えるかわからないときに質問文で使います。

（２）"How may I help you?"で訳すると「どのようにお助けできますか？」となりますが、「なにが出来るでしょう？」のニュアンスでご質問とニュアンスが近いです。

私にも教えてよ！ を英語で教えて!

（１）Tell me too!　（私にも教えてください！）
命令形の構文なのでカジュアルなシーンで使う表現です。

（２）Share it with me too! (私にもシェアしてください！)
情報などをシェアするニュアンスで上記の表現も可能です。

（３）Please give it to me too! （私にも頂戴！）
情報などを私にも頂戴、というニュアンスで使います。

（４）Let me join you! （仲間に入れて！）
盛り上がりの場に混ぜて！というニュアンスですが、話の輪に加わるので「教えてよ」のニュアンスが込められています。

私にも意地がある を英語で教えて!

研究社 新和英中辞典での「意地」の英訳でニュアンスにより複数の訳例が有ります。
〈根性〉 will‐power; backbone
〈誇り〉 pride
〈体面〉 【形式ばった表現】 honor

ご質問の背景では上記のいずれも当てはまりそうです。例えば、"I have pride."としてはどうでしょう。勿論心持に応じて使い分けて頂いて良いです。

アレンジして「私にも意地があるので負けられない」とすれば以下が適訳です。

（訳例）
I have honor, so I can't lose. （私にも体面［意地］があるので負けられない。）

私だったら～を選ぶ を英語で教えて!

「選ぶ」を「choose」の類義語で表現すれば良い訳です。Collins辞書で沢山紹介されています。
(chooseの類義語)
pick, take, prefer, select, elect, adopt, opt for, designate, single out, espouse, settle on,
fix on, cherry-pick, settle upon, predestine

「私（があなた）だったら」は「if I were you」の仮定法を使います。事実や現実とは違うことを話すときには「was」ではなく「were」を使います。

「私だったら青を選ぶ」は以下が適訳です。

（訳例）
If I were you, I would pick the blue one.
※実際には選べないので構文の助動詞も過去「would」を使います。
※「the blue one」で「青のもの」の意です。oneは対象となるものがそれ以前に言及されている時に代名詞として使います。

私たち婚約したの を英語で教えて!

「to become engaged （to be married）」で「婚約する」の訳語となります。形容詞「engaged」は「予定があって」の意味ですが「婚約中の」の意味も有ります。

「実は」は「実を言えば」の意で「to tell the truth」が適訳と思います。「in fact」でも良いですよ。

上記解説を踏まえてご質問は以下が適訳と考えます。

（訳例）
To tell the truth, we became engaged to be married.
(実を言うと、私たちは結婚するつもりで婚約しました。)
※「to be married」は省略しても良いでしょう。