Ken

腹を立てているわけではない を英語で教えて!

It doesn't mean that I’m angry.
腹を立てているわけではない。

it doesn't mean that 〜 は「〜というわけではない」という意味を表す表現になります。また、angry は「怒っている」「腹を立てている」という意味を表す形容詞です。

Don't get me wrong. It doesn't mean that I’m angry.
（誤解しないで。腹を立てているわけではない。）

It doesn't mean that I’m mad.
腹を立てているわけではない。

mad も「腹を立てている」という意味を表す形容詞ですが、こちらは angry と比べて、怒りの度合いが高いニュアンスがあります。（カジュアルなニュアンスもあります。）

What are you talking about? It doesn't mean that I’m mad.
（何言ってんの？腹を立てているわけではないよ。）

カラッとしていい性格だ を英語で教えて!

They have an openhearted and good personality.
カラッとしていい性格だ。

openhearted は「心を開いた」「気さくな」「カラッとした」などの意味を表す形容詞になります。また、good は「良い」「上手い」「美味しい」などの意味を表す形容詞ですが、客観的なニュアンスのある表現です。
※ personality は「性格」という意味を表す名詞ですが、こちらは「人と人との関係性の中にある性格」を表す表現になります。（「その人が元々持っている性格」は character になります。）

He has an openhearted and good personality. I enjoy being with him.
（彼は、カラッとしていい性格よ。一緒にいると楽しい。）

合理主義者 を英語で教えて!

rationalist
合理主義者

rationalist は「合理主義者」「理性主義者」などの意味を表す名詞ですが、形容詞として使われることもあります。

Sorry, I'm a rationalist so I would like a proper explanation.
（ごめん、僕は合理主義者なんだ、きちっと説明が欲しい。）

pragmatist
合理主義者

pragmatist は「合理主義者」や「実用主義者」などの意味を表す名詞で、ドイツ語由来の英語表現になります。

He's a pragmatist, so I don't think he'll be convinced by that explanation.
（彼は合理主義者だから、その説明では納得しないと思う。）

急なご逝去で驚いております を英語で教えて!

I am shocked by his sudden passing.
急なご逝去で驚いております。

be shocked は「驚いている」「ショックを受けている」などの意味を表す表現で、基本的にネガティブな驚きに対して使われる表現になります。また、pass は「通る」「抜く」「合格する」などの意味を表す動詞ですが、（丁寧なニュアンスの）「亡くなる」「死ぬ」などの意味も表せます。

My condolences. I am shocked by your sudden passing.
（お悔やみ申し上げます。急なご逝去で驚いております。）
※ condolences は「お悔やみ」や「弔詞」などの意味を表す名詞です。

彼の態度は実に男らしい を英語で教えて!

His behaviors are so manly.
彼の態度は実に男らしい。

behavior は「行動」「振る舞い」「（目に見える）態度」などの意味を表す名詞になります。また、so は「とても」「実に」などの意味を表す副詞です。
※ manly は「男らしい」「勇ましい」などの意味を表す形容詞になります。

His behaviors are so manly. I like it.
（彼の態度は実に男らしい。私は好きだな。）

His attitude is very manly.
彼の態度は実に男らしい。

attitude も「態度」という意味を表す名詞ですが、こちらは「心持ち」というような「人の内面にある態度」を表す表現です。また、very も「とても」「実に」などの意味を表す副詞ですが、so に比べて、少し固いニュアンスがあります。

His attitude is very manly. I feel that way.
（彼の態度は実に男らしい。私はそう感じるんです。）