Ken

飛行機のチケットを予約しました を英語で教えて!

1. I made a reservation for my plane ticket.
飛行機のチケットを予約しました。

reservation は「予約」という意味を表す名詞ですが「不安」という意味も表せます。また、ticket は「チケット」「切符」などの意味を表す名詞です。
※ticket を使ったスラングで That's the ticket. と言うと「まさにそれ。」「その通り。」というような意味を表せます。

I've prepared for my business trip, so I made a reservation for my plane ticket.
（出張の準備ができたので、飛行機のチケットを予約しました。）

2. I reserved my plane ticket.
飛行機のチケットを予約しました。

reserve は「予約する」「確保する」などの意味を表す動詞ですが、「遠慮する」という意味も表せます。

Just in case, I reserved my plane ticket.
（念のため、飛行機のチケットを予約しました。）

ここに駐車できますか？ を英語で教えて!

1. Could I park here?
ここに駐車できますか？

could I 〜 ? は、丁寧なニュアンスの「〜してもいいですか？」「（私が）〜できますか？」などの意味を表す表現になります。また、park は「公園」「駐車場」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「駐車する」「駐車させる」などの意味も表せます。
※ちなみに park を使ったイディオムで a walk in the park（公園の散歩）と言うと「簡単なこと」「容易いこと」といった意味を表現できます。

Excuse me, could I park here?
（すみません、ここに駐車できますか？）

2. May I park here?
ここに駐車できますか？

may I 〜 ? も「（私が）〜できますか？」という意味を表す表現ですが、こちらは could I 〜 ? よりもさらに丁寧なニュアンスになります。

Just to confirm, may I park here?
（確認なんですが、ここに駐車できますか？）

悩みを聞いて欲しい を英語で教えて!

「悩みを聞いて欲しい。」は、上記のように表現することができます。

want to は、直接的なニュアンスの「〜したい」という意味を表す表現になります。（want you to で「あなたに〜にしてほしい」という意味を表せます）また、listen は「聞く」という意味を表す動詞ですが「（聞こうと意識して）聞く」という意味の「聞く」を表す表現です。
trouble は「困難」「悩み」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「困らせる」「悩ませる」などの意味も表せます。

Do you have time today? I want you to listen to my recent troubles.
（今日時間ある？最近の悩みを聞いてほしい。）

コスト削減の方法を検討しましょう を英語で教えて!

1. We should consider the ways to cut costs.
コスト削減の方法を検討しましょう。

should は「〜した方がいい」「〜するべき」「〜なはず」などの意味を表す助動詞ですが、カジュアルに「〜して」「〜しよう」といったニュアンスでも使えます。また、way は「道」という意味を表す名詞ですが「方法」「手段」などの意味も表せます。

I think it has a lot of waste, so we should consider the ways to cut costs.
（たぶん無駄が多いので、コスト削減の方法を検討しましょう。）

2. Let’s consider methods to cut costs.
コスト削減の方法を検討しましょう。

let's は let us の略で「〜しよう」という意味を表す表現になります。（let は使役動詞として柔らかいニュアンスの「〜させる」という意味も表せます）また、method も「方法」「手段」などの意味を表す名詞ですが、こちらは way と比べて「具体性の高い方法」というニュアンスになります。

For now, let’s consider methods to cut costs.
（とりあえず、コスト削減の方法を検討しましょう。）

このあたりに遊具がある公園はありますか？ を英語で教えて!

「このあたりに遊具がある公園はありますか？」は、上記のように表現することができます。

there is 〜 や there are 〜 は「〜がある」という意味を表す表現ですが、基本的に、聞き手にとって新しい情報を伝える際に使われる表現になります。また、equipment は「用具」「設備」などの意味を表す名詞ですが、それらをまとめたものを表す集合名詞なので不可算名詞になります。
※ちなみに park（公園）を使ったイディオムで a walk in the park（公園の散歩）と言うと「簡単なこと」「容易いこと」などの意味を表せます。

By the way, is there a park with playground equipment around here?
（ちなみに、このあたりに遊具がある公園はありますか？）
※by the way（ちなみに、ところで、そういえば、など）