Ken

予算の承認が下りると思います を英語で教えて!

「予算の承認が下りると思います」は、上記のように表せます。

I think は「私は思う」という意味を表す表現ですが、「たぶん」「〜かも」などのニュアンスを表すために使うこともできます。
budget は「予算」「予算額」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「予算を立てる」という意味も表せます。
gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。

例文
There is no problem. I think the budget is gonna be approved probably next month.
問題ありません。おそらく来月には予算の承認が下りると思います。

※there is no 〜 とすると、there is not 〜 とするより、「ない」ということを強調したニュアンスにできます。

彼はまさに仕事の鬼だね を英語で教えて!

「彼はまさに仕事の鬼だね」は、上記のように表せます。

the は「あの」「例の」などのような、話し手と聞き手が共に認知している名詞に対して使われる冠詞ですが、文脈や言い方によっては「まさに」というニュアンスも表せます。
workaholic は「仕事中毒な人」「仕事に取り憑かれた人」といった意味を表す名詞で、基本的にはネガティブなニュアンスのある表現ですが、「仕事熱心な人」「仕事の鬼」というようなニュアンスで使われることもあります。

例文
He's the workaholic. I can't emulate him definitely.
彼はまさに仕事の鬼だね。絶対に真似できないよ。

※emulate は「真似する」「見習う」などの意味を表す動詞になります。

料理教室に通ったのがきっかけで を英語で教えて!

「料理教室に通ったのがきっかけで」は、上記のように表せます。

trigger は「引き金」という意味を表す名詞ですが、比喩的に「きっかけ」という意味でも使われます。
attend は「出席する」「参加する」などの意味を表す動詞ですが「通う」という意味も表現できます。
cook は「料理する」という意味を表す動詞ですが「熱を使って料理する」という意味を表す表現です。

例文
Cooking became my hobby by the trigger that I attended a cooking class.
料理教室に通ったのがきっかけで、　料理が趣味になりました。

※hobby は「趣味」という意味を表す名詞ですが、こちらは「お金や時間をかなりかけているような、専門的な趣味」というニュアンスのある表現になります。

なぜ彼が怒っているかわかりますか？ を英語で教えて!

「なぜ彼が怒っているかわかりますか？」は、上記のように表せます。

know は「知る」「知っている」などの意味を表す動詞ですが、「わかる」「理解する」などの意味でも使われます。
why は「なぜ」「どうして」などの意味を表す疑問詞ですが、名詞として「理由」という意味も表せます。
mad は「狂った」「馬鹿げた」などの意味を表す形容詞ですが「怒った」という意味も表現できます。

例文
Do you know why he is mad? You should apologize to him.
なぜ彼が怒っているかわかりますか？彼に謝った方がいいですよ。

※apologize は「謝る」「謝罪する」などの意味を表す動詞ですが、イギリス英語では apologise と綴られます。

この薬は苦くて飲みにくい を英語で教えて!

「この薬は苦くて飲みにくい」は、上記のように表せます。

bitter は「苦い」という意味を表す形容詞ですが、比喩的に「辛い」「悲痛な」などの意味も表せます。
hard は「硬い」という意味を表す形容詞ですが、「難しい」「大変な」などの意味も表せるので、hard to 〜 で「〜しにくい」「〜しづらい」などの意味を表現できます。
take は「取る」「つかむ」などの意味を表す動詞ですが「（薬を）飲む」という意味も表せます。

例文
This medicine is bitter and hard to take. I don't wanna take it anymore.
この薬は苦くて飲みにくい。もう飲みたくないな。

※want to（wanna は want to を略したスラング表現です）は、直接的でカジュアルなニュアンスの「〜したい」という意味を表す表現になります。