Toru

向上心 を英語で教えて!

ぴったり合う訳語は難しいですが、「大望」「野望」などを意味する名詞ambitionを使うのが良いと思います。
「向上」の部分は、to improve oneself「自分を進歩させること」で表現できるでしょう。
従って、an ambition to improve oneselfで「向上心」になります。

It's important to keep strong ambition to improve yourself.「強い向上心を持ち続けることが大切です」

または、形容詞ambitious「大望を抱いた」を使っても、ほぼ同じ意味の文が作れます。

You must be ambitious to improve yourself.「向上心を持たなくてはなりません」

他に近い意味の語としては、aspiration「熱望、強い望み」も同様に使えると思います。

ここにいる皆さんに感謝しています を英語で教えて!

形容詞presentは「現在の」という意味ですが、「（会合や式典などに）出席して、参列して」という意味もあります。これを使って表現するのが良いでしょう。
everyone present hereで「ここにいる皆さん」という意味になります。

I would like to express my gratitude to everyone present here.
「ここにいる皆さんに感謝の意を表明したいと思います」

もっとカジュアルな表現で良いならば、
I want to say thanks to everyone present here.
「ここにいる皆さんにありがとうと言いたいです」
などで良いでしょう。

なお、状況に応じてeveryoneをall my colleagues「同僚の皆さん」などに替えてもOKです。

ことわざ・慣用句 を英語で教えて!

まず、「慣用句」「熟語」を意味する名詞idiomがあります。
これは一般に、「個々の単語からでは意味を推測できないような表現」のことを指します。
例えばgive upは、give「与える」とup「上に」のそれぞれの意味から「やめる、あきらめる」という意味を推測することはできませんよね。
他にも、特定の地域や人々が慣用的に使う表現、を指すこともあります。

It's the American idiom.「それはアメリカ英語の用法です」

次に「ことわざ」という表現に一番近いのはsaying「言い習わし、ことわざ」でしょうか。ほぼ同じ意味の名詞としてproverbという語も使われます。

As the saying goes, "Time is money."「ことわざに言う通り、『時は金なり』です」

最後に、「格言、金言」という意味の名詞maximがあります。こちらは「人生訓、処世訓」のようなニュアンスです。

話が弾む を英語で教えて!

「活発な」を意味する形容詞livelyを使って表現するのが良いでしょう。

We had a lively conversation.「私たちは活発な会話を交わした」＝「話が弾んだ」

もちろん、lively以外にも、niceやgreat、interestingなどの形容詞を使うこともできます。
また、hadの代わりにenjoyedなどを使っても良いでしょう。

We enjoyed a great conversation.「私たちは素晴らしい会話を楽しんだ」

これより少し形式ばった表現として、以下のような慣用句もあります。

The conversation took a lively turn.「会話が弾んだ」

使ってみてください。

人脈を広げる を英語で教えて!

「接続」や「つながり」などを意味する名詞connectionを使い、
personal connectionsで「個人的な人間関係、人脈」という意味を表現できます。
この場合、動詞はestablish「確立する、打ち立てる」を使うと良いでしょう。

I want to establish wider personal connections.「私はより広い人脈をつくりたい」

もしくは、名詞network「ネットワーク」を使って表現しても良いでしょう。

I want to build a wide network of friends.「私は幅広い友人のネットワークをつくりたい」

friendsのところをacquaintances「知り合い」などに替えても良いです。