Maisshimo

言ってもらおうと思ってる を英語で教えて!

I'll ask my friend to explain it for my sake.
「友達に言ってもらおうと思ってる」

この場合の助動詞 will は、「〜するつもりだ」という話し手の意思を表します。For my sake は「私のために」という意味です。ご友人に言ってもらう内容によっては、to explain it の代わりに他の動詞を入れてもいいでしょう。以下にいくつか考えられる候補を挙げておきます。

「それを表現する」→ to express it
「それを描写する」→ to describe it
「誰かを説得する」→ to convince someone

他の英訳候補としては、

I'll ask my friend to do the talking.
「話すのは、友人に頼みます」

も考えられます。

自分を癒す時間を持つ を英語で教えて!

I take some time for self-care because I am busy in my daily life with my work.
「毎日仕事で忙しいので、自分を癒す時間を持つようにしている」

忙しさの中で「自分を癒す」という日本語の表現にもっとも近くて一般的に浸透しているのは、 self-care という言葉です。

動詞は現在形で使うと「日常の習慣」を表す事が出来ます。

I walk to my office every morning.
「毎朝、オフィスに徒歩で通っている」

などが良い例ですね。本当は毎日時間を割きたいけれど、必ずしもいつも割けているわけではないという場合は、try to を足してあげても良いでしょう。

I try to take some time for self-care everyday.
「毎日、セルフケアの時間を取るよう心がけています」

多少なりとも妥協しないと を英語で教えて!

You need to compromise to a certain extent, otherwise you won't be able to finish it!
「多少なりとも妥協しないと、物事は進まないよ！」
こちらは質問者の方の原文に忠実な訳です。　

もう一つの候補は、
You can't be a perfectionist and get things done.
「完璧主義者でありつつ、物事を片づけるのは無理だよ」

です。And以前の内容「妥協せず完璧主義で働く」と以降の内容「物事を片づける」の両立は不可能だ、という事を伝えます。似た使い方のandが登場するのは、次のようなことわざです。

You can't have your cake and eat it.
「ケーキを取っておきながら食べることはできない＝物事のおいしいとこ取りはできない」

こちらも、and以前と以降の両立はできないという内容を表していますね。You can't do (both) A and B という風に、文章の中に both（両方）という単語が隠れていると考えると、この手の文は理解しやすいでしょう。

送ってもらった方がいいんじゃない？ を英語で教えて!

「送ってもらった方がいいんじゃない？」

Have A （動詞の過去分詞）の意味は、「Aを動詞してもらう」です。中学校の英語で、I had my hair cut 「髪を切ってもらった」の文章を使って、この用法を習った方も多いのではないでしょうか。

Isn't it easier~? は、 It is easier ~ 「〜の方が楽だ」と断言してしまうのとは異なり、「〜の方が楽じゃない？」と相手にも判断の余地を残します。他にも、

It is easier to have it delivered, isn't it?
「送ってもらった方が楽だよ、そうじゃない？」

と付加疑問文を使う事も出来ますよ。

赴く を英語で教えて!

「赴く」

しっくり来る英訳が見つからない時は、まずは英語を脇に置いて、「日本語で具体的に何を表したいのか？」という点を、より精度を上げて見つめ直してみましょう。

「現地に『行く』」と別の動詞を使った時と比較して、「赴く」の場合はよりフォーマルさが感じ取れますね。「仕事」という目的の点においてもそうですし、ニュースでキャスターが使うような表現だという点で、言葉遣いという面においても堅いと言えます。

それを踏まえた上で改めて英語に戻りますと、日本語の「赴く」と完全に合致する動詞はありませんが、to visit （訪れる）がもっとも使われ方として近いと言えるでしょう。

仕事を目的とした移動を言い表す事が出来るのはもちろん、報道でもよく耳にする表現ですから言い回しとしてもフォーマルです。The Prime Minister visited ~ 「首相は〜を訪れました」などという表現は、ニュースや新聞で頻出します。

My colleague visits the US next month for the annual conference.
「私の同僚は、例年の会議のために来月アメリカに赴きます」

Visit を使うと、主に「行く」を表す「赴く」とは異なり、「（話者の方へ）来る」でも問題なく使えます。