Ken

目は口ほどにものを言う を英語で教えて！

「目は口ほどにものを言う」の英語での言い表し方はいくつかあると思いますが
最も日本語の雰囲気に近いと個人的に感じるのがこちらです。

The eyes speak as much as the mouth.
(目は口程に物を言う。）

as much as には（～と同程度に）という意味を持つ英語表現なので意味的にバッチリ合いますね。
(more ~than)比較級を使って

The eyes are more eloquent than the mouth.

でも同様の意味を表現することは出来ますが、「目は口よりも雄弁である」みたいな雰囲気になるので
少しだけニュアンスが変わりますね。

ご参考になれば幸いです。

目まぐるしい を英語で教えて！

「目まぐるしい」は dizzying で言い表せます。
dizzy は「目まい」の意味なのでそれをing形にします。

dizzying change
（目まぐるしい変化）

個人的によりオススメなのが dramatically や rapidly など副詞を使った表現です。

My life changed dramatically.
（私の生活は目まぐるしく変化した。）

「ドラマティック」という言葉は日本人にはとても馴染みある表現だと思うので
dramatically は dizzying より使いやすいかもしれませんね。

ご参考になれば幸いです。

目をかけてもらう を英語で教えて！

「お目をかけて頂き」という日本語色が強めの表現を英語に変換するやり方は複数あると思いますが
concern を使った表現がオススメです。

Thank you for your concern.
（お目にかけて頂きありがとうございます。）

concern はとても覚えておくと便利な言葉です。ビジネスシーンでも何かの懸念点を伝えたい時に
使ったりします。

I got points. But I'm little concern about deadline.
(わかりました。ただ少し納期が気になりますね。）

ご参考になれば幸いです。

目を背ける を英語で教えて！

「目を背けた」は turn away で言い表すのがオススメです。

I found a boss I'm not good at, so I turned away.
（苦手な上司を見つけたので目を背けた。）

似たような表現で look away でも同様の意味で言い表せます。

My boss looked away from me.
(上司は私から目を背けた。）

ちなみに「ナンパ」は pick up と言ったりします。
日本だとオンラインショップビジネスなどで受注した商品を倉庫から集める業務を
pickupと言うことがよくありますね。

ご参考になれば幸いです。

目移りする を英語で教えて！

「目移りする」を日本語側でちょっと簡単な表現に変換して「選べない」「選ぶのは難しい」と考えると
not easy to choose が使えます。
このように、英語訳を知らない表現や難しい日本語でも基本的な英語で言い表せるのでオススメ出来ます。

There are so many dishes it's not easy to choose.
（料理がたくさんあって目移りしちゃう。）

日本で人気の食べ放題バイキングのことは all you can eat buffet と言います。

ご参考になれば幸いです。