Ken

目に入れても痛くない を英語で教えて！

「目に入れても痛くない」を英語で表現すると the apple of one's/my eye になります。
このイディオムの意味は apple リンゴが人の瞳を表しているようで、「人間にとって不可欠な瞳」というものと
同じようにかけがえのない存在ということだそうです。（とても古くからあるイディオム）

My grandchild is the apple of my eye.
(孫は目に入れても痛くないほど可愛い。）

日本語では似た意味で子供や孫、ペットに対して「愛くるしい」なんて言ったりしますが
これは英語では adorable で言い表せると思います。

目の下のクマ を英語で教えて！

「クマ」は dark circles 「目の下」はそのまま under the eyes で言い表せます。

I haven't been getting enough sleep lately, so I got dark circles under the eyes.
（最近、睡眠時間が足りないので、目の下にクマが出来た。）

別の言い方で、dark circles でなく、黒い鞄 bags を使ったりも出来ます。

ちなみに目の下にクマができる原因の一つでもある睡眠不足ですが、
英語では lack of sleep 、不眠症は insomnia と言います。

ご参考になれば幸いです。

目の色を変える を英語で教えて！

日本語の「目の色を変える」には、”真剣になる”や”熱中し始める”みたいなニュアンスがあると思いますので
get serious や crazy about で言い表すことができるでしょう。

The students became serious because the exam is approaching.
（受験が近づいてきているので、生徒たちの目の色が変わった。）

You became crazy about me.
(あなたは私に対して目の色が変わった。）

ご参考になれば幸いです。

目の保養 を英語で教えて！

これは面白くて英語らしい表現ですね。 candy を使って、目にご褒美を挙げている雰囲気が出ていますね。

My cat is so cute. it's eye candy.
（私の猫凄い可愛い。目の保養になる。）

ちなみに candy の意味は日本語の飴だけではなく、甘いお菓子全般のことを指したり、ヒップホップスラングでは「魅力的な異性」ことを表したりします。
※ちなみにアメリカの超有名ラッパーの５０cent氏の作品にも"Candy shop"という曲があります。

ご参考になれば幸いです。

目は口ほどにものを言う を英語で教えて！

「目は口ほどにものを言う」の英語での言い表し方はいくつかあると思いますが
最も日本語の雰囲気に近いと個人的に感じるのがこちらです。

The eyes speak as much as the mouth.
(目は口程に物を言う。）

as much as には（～と同程度に）という意味を持つ英語表現なので意味的にバッチリ合いますね。
(more ~than)比較級を使って

The eyes are more eloquent than the mouth.

でも同様の意味を表現することは出来ますが、「目は口よりも雄弁である」みたいな雰囲気になるので
少しだけニュアンスが変わりますね。

ご参考になれば幸いです。