Ken

あの方が食べている料理をください を英語で教えて!

Can I have the dish that person is eating?
あの方が食べている料理をください。

can I have 〜 ? は、「〜ください」「〜もらえますか？」などの意味を表すカジュアルなニュアンスの表現になります。また、dish は「お皿」「食器」などの意味を表す名詞ですが、「（お皿に乗った）料理」という意味も表せます。

Excuse me, can I have the dish that person is eating?
（すみません、あの方が食べている料理をください。）

Please give me the cuisine that person is eating.
あの方が食べている料理をください。

please は「〜してください」という意味を表す丁寧なニュアンスの表現ですが、命令形のニュアンスも含む表現なので、少し上から目線な感じが出ます。また、cuisine も「料理」という意味を表す名詞ですが、こちらは「地域の料理」というニュアンスがある表現になります。

It looks tasty, so please give me the cuisine that person is eating.
（美味しそうなので、あの方が食べている料理をください。）

胃がんの原因として知られている を英語で教えて!

It's known as a cause of stomach cancer.
胃がんの原因として知られている。

be known as 〜 で「〜として知られている」という意味を表せます。また、cause は「原因」「要因」「理由」などの意味を表す名詞になります。

Smoked foods are known as a cause of stomach cancer.
（スモークした食べ物は胃がんの原因として知られているでしょ。）

It's known to cause stomach cancer.
胃がんの原因として知られている。

cause は、動詞としても意味があり、「原因となる」「引き起こす」などの意味を表せます。

Few people eat it because it's known to cause stomach cancer.
（原因として知られているので、食べる人は少ない。）

使い方を教えてください を英語で教えて!

Could you teach me how to use it?
使い方を教えてください。

could you 〜 ? は、丁寧なニュアンスの「〜してください」「〜してくれますか？」などの意味を表す表現になります。また、teach は「教える」という意味を表す動詞ですが、「教育する」「（学問や技術などを）教える」などの意味の「教える」を表す表現です。

Could you teach me how to take a picture?
（どうやって撮るのか、使い方を教えてください。）

Please teach me how to use it.
使い方を教えてください。

please は「〜してください」という意味を表す丁寧な表現ですが、命令形のニュアンスも含む表現なので、少し上から目線な感じが出ます。

I'll make it, so please teach me how to use it.
（私が作るので、使い方を教えてください。）

それなら買います！ を英語で教えて!

Then I'm gonna buy it!
それなら買います！

then は「それなら」「その時」「続いて」などの意味を表す副詞になります。また、gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。
※buy は「買う」という意味を表す動詞ですが、名詞として「買い付け」「格安品」などの意味も表せます。

I got it, then I'm gonna buy it!
（わかりました、それなら買います！）

Then I'll get it!
それなら買います！

get は「手に入れる」「到着する」などの意味を表す動詞ですが、（カジュアルなニュアンスの）「買う」という意味も表せます。

This is a real thing, right? Then I'll get it!
（本物なんですね？それなら買います。）

あの美容師は下手くそ を英語で教えて!

That hairdresser is bad.
あの美容師は下手くそ。

hairdresser は「美容師」「理容師」などの意味を表す名詞ですが、「美容院」という意味でも使われます。また、bad は「悪い」「下手な」などの意味を表す形容詞ですが、スラング的に「かっこいい」「イケてる」などの意味で使われることもあります。

You shouldn’t do it. That hairdresser is bad.
（やめた方がいいよ。あの美容師は下手くそ。）

That hairdresser is wack.
あの美容師は下手くそ。

wack は「ダサい」「下手な」「ひどい」などの意味を表すスラング表現になります。

That's a rumor. Actually, that hairdresser is wack.
（それはデマ。実際は、あの美容師は下手くそ。）