Ken

笑わないで聞いて を英語で教えて!

「笑わないで聞いて。」は、上記のように表現することができます。

should は「〜した方がいい」「〜するべき」「〜なはず」などの意味を表す助動詞ですが、カジュアルに「〜して」「〜しよう」といったニュアンスでも使えます。また、listen は「聞く」という意味を表す動詞ですが、「（聞こうと意識して）聞く」という意味の「聞く」を表す表現になります。（「自然と耳に入る」という場合は hear で表現できます。）
※ laugh は「笑う」という意味を表す動詞ですが、「声を出して笑う」というニュアンスの表現です。

I'm serious. You should listen without laughing.
（私は真剣なの。笑わないで聞いて。）

紹介状を書いてください を英語で教えて!

「紹介状を書いてください。」は、上記のように表現することができます。

could you 〜 ? は、丁寧なニュアンスの「〜してください」「〜してくれますか？」などの意味を表す表現になります。また、write は「書く」という意味を表す動詞ですが、「執筆する」「作曲する」などの意味で使われることもあります。
※ referral letter で「紹介状」という意味を表せます。（letter は「手紙」という意味を表す名詞ですが「文字」という意味も表現できます。）

I would like to go to a general hospital, so could you write a referral letter?
（総合病院に行きたいので、紹介状を書いてください。）

そのデータは最新ですか？ を英語で教えて!

Is that data the latest?
そのデータは最新ですか？

data は「データ」「資料」などの意味を表す名詞ですが、「事実」という意味で使われることもあります。また、latest は late の最上級で、「最新の」「最近の」などの意味を表す形容詞です。

Just to confirm, is that data the latest?
（確認ですが、そのデータは最新ですか？）

Is that data the newest?
そのデータは最新ですか？

newest は new の最上級で、こちらも「最新の」という意味を表す形容詞ですが、latest と比べると、使用される頻度は低めな表現になります。

By the way, is that data the newest?
（ちなみに、そのデータは最新ですか？）
※by the way（ちなみに、ところで、そういえば、など）

そこが肝だよ を英語で教えて!

It’s a point.
そこが肝だよ。

point は「点」「得点」などの意味を表す名詞ですが、「重要な点」「核心」などの意味も表せます。（「言いたいこと」「主張」などの意味で使われることもよくあります。）

It’s a point that how long you keep going without giving up.
（どこまで諦めずに続けるか、そこが肝だよ。）

It’s the key.
そこが肝だよ。

key は「鍵」という意味を表す名詞ですが、比喩的に「手がかり」「重要なこと」「肝心なこと」などの意味も表せます。（形容詞として「重要な」「肝心な」などの意味も表せます。）

That's a good perspective. It’s the key.
（いい視点だね。そこが肝だよ。）

そのスケジュールは変更されました を英語で教えて!

「そのスケジュールは変更されました。」は、上記のように表現することができます。

schedule は「スケジュール」「予定」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「スケジュールを組む」「予定を立てる」などの意味も表せます。また、change は「変える」「変更する」などの意味を表す動詞ですが、名詞としては「変化」「変更」などの意味に加えて、「お釣り」「小銭」などの意味も表せます。
※ちなみに schedule はアメリカ英語とイギリス英語で、かなり発音が違う単語になります。アメリカ英語の場合は比較的、カタカナ発音に近いのですが、イギリス英語の場合、「シェジュール」というような発音になります。

I checked the latest information, but that schedule has been changed.
（最新情報を確認しましたが、そのスケジュールは変更されました。）