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根比べ を英語で教えて!

根比べ＝我慢比べとして英訳すると、endurance game が一番近しい意味合いのイディオムとなります。
英語：病気との根比べになりそうだ。
日本語：It seems like an endurance game with my disease.

例文：
An endurance game is a game where the object is to last as long as possible under some sort of stress.
我慢比べは、何らかのストレス下で可能な限り長く持続させるかを競うゲームです。

An endurance gameのストレスの対象は喜ばしいことには使用されず、あくまで身体的痛み、恥ずかしい状況等、ネガティブなものがそれにあたります。

自家用 を英語で教えて!

自分専用であることを示す際は、private - という表現が自家用車、自家用発電どちらにも共通して使用できるかと思います。

自家用車　My private car
自家用発電　My private power generation system

または、自分が所有していることに重きをおいて示す際は、my own - という表現が自家用車、自家用発電どちらにも共通して使用できるかと思います。

自家用車　My own car
自家用発電　My own power generation system

例文：
最近自分の車買ったんだ〜！
I've got my own car recently!

ご参考になれば幸いです。

〇〇在住の を英語で教えて!

日本語の自己紹介とは違い、名前、住んでるところを分けて自己紹介している場合が多いかもしれません。

今回ご質問の「モントリオール在住の〇〇と言います」は下記のように表現できるかと思います。
①一時的にモントリオールにいらっしゃる場合
英語：I'm 〇〇, currently living in Montreal.
日本語：私は現在モントリオールに住んでいる〇〇です。

②ずっとモントリオールにいらっしゃる場合
英語：I'm 〇〇, and I live in Montreal. / I am from Montreal.
日本語：モントリオールに住んでいる〇〇です。

状況によって使い分けてみてください。
ご参考になれば幸いです。

自分の力不足を思い知ったよ を英語で教えて!

何を強調したいかによって、色んな表現の仕方ができるいい質問かと思います。

今回ご質問の「自分の力不足を思い知ったよ」を
①文章のまま訳した場合
英語：I realized that my real ability was not good enough to be competitive.
日本語訳：自分の実力が競争力として十分ではないことに気づいた。

②周りと比べて、自分が劣っていると感じている場合
英語：I realized how useless I was.
日本語訳：自分の無力さを思い知った。
英語：The world level was higher than I expected.
日本語訳：周りのレベルが思ったよりも高かった。

③力不足でもう少し練習するべきだと悔いている場合
英語：I learned I need to work harder.
日本語：もっと頑張らないといけないということを学びました。
英語：I should have worked harder.
日本語：もっと頑張っておくべきだった。

My real ability / My skill set = 実力

英語話者の方と相談しながら文章をたくさん考えてみました。
上記の中で質問者様の表現したかったお気持ちに少しでも近いものがあればと思います。

回答を考えながら下記のことわざも思い出しましたので、
こちらも記載させていただきます。

英語：A big fish in a small pond
日本語訳：井の中の蛙

抜き打ちテスト を英語で教えて!

pop quiz = 抜き打ちテスト
英語圏では小テストのことをquizと表現します。
その中でも生徒に事前の予告のないもの、つまり抜き打ちテストはpop quizと表現します。

ご質問の「今日学校で抜き打ちテストがあったんだ」は下記のように表現することができます。
英語：I had a pop quiz at school today.
日本語訳：今日学校で抜き打ちテストをしました。

英語：A pop quiz is a quiz that students are not told about beforehand.
日本語訳：ポップクイズは、生徒たちが事前に聞かされないクイズです。

ご参考になれば幸いです。