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人事異動の発表 を英語で教えて!

Personnel changes = 人事異動です。

ご質問の「来週人事異動が発表されるんだ」は、下記のように英語で表現することができます。
英語：Personnel changes will be announced next week.
日本語訳：人事異動は来週発表されます。

be announced = 〜が発表される。動詞announceの受動態。

他にも、人事異動があります/起こります等の表現は
Personnel changes are made.
Personnel changes happened.
と表現することができます。

書類選考で落とされる を英語で教えて!

Job application = 書類選考
会社の採用試験に応募するために書類を送付したりする最初の段階をjob applicationと呼びます。

ですので、ご質問の「書類選考で落とされちゃったよ」という表現は下記のように表現することができます。
英語：My job application gets rejected.
日本語訳：書類選考で落とされました。

※複数応募の場合はMy job applications get rejected.

書類選考関連の英単語
Resume＝履歴書
Cover letter=カバーレター
海外の企業のポジションに応募する際も履歴書やカバーレターを送付することが基本です。
カバーレターとは、なぜ応募に至ったのかの理由や自分が持っているスキルを記載するための文書です。

バイトの経験は面接に有利 を英語で教えて!

回答内容欄の字数制限の関係で、”バイトの経験”や”面接”のニュアンスは
こちらの補足説明にて詳しく説明致します。

A competitive advantage = 競争力のある優位性（有利）

ご質問の「バイトの経験は面接に有利らしいよ」という文章は下記のように訳すことができます。
英語：Part-time work experience would be a competitive advantage during the interview process.
日本語訳：アルバイト経験があると、面接の際に有利になるだろう。

Part-time work experience＝アルバイトで働いた経験
※アルバイトという表現は英語にはなく、近しい意味合いがPart-time workとなります。
The interview process=（仕事の）面接

大学（受験）に申し込む を英語で教えて!

大学（受験）に出願することを英語で
apply to university
と表現することができます。

なのでご質問の「いくつの大学に申し込むつもり？」は下記のように英語で表現することができます。

英語：How many universities are you going to apply to?
日本語訳：何箇所の大学に出願する予定ですか？

補足説明：
apply to ~ = 〜に出願する
university = 大学
How many universities = いくつの大学
are you going to = 〜するつもりである（be going to 動詞の原形）の疑問形

バイト探しはどうなった？ を英語で教えて!

背景によっていろんな表現をすることができます。

1) how is your job hunting?
日本語訳：仕事探しはどうですか？
Job hunting は日本語でいう就職活動。
いわゆるアルバイトでもこの表現を使用することができます。

2)Have you found a part-time job?
日本語訳：アルバイトは見つかりましたか？
a part-time jobが日本でいうところのアルバイトに近しい意味合いとなります。
既に、バイト探しをしていることをご存知でその結果や進捗を確認する場合には
こちらの表現がおすすめです。