yuuuuuuuuu

そんながっかりしないで を英語で教えて!

Don't take it that hard, alright?
（それほど重く受け止めないで、ね？）
このthatは副詞で「それほど」という意味を表します。takeは「～を受け止める」という意味を表します。
他にも色々な言い方があるのでいくつか紹介したいと思います。

Don't be so disappointed, please.
（そんなにがっかりしないでよ）
disappoint「～をがっかりさせる」を使った表現です。

Try not to feel let down like that, okay?
（そんなに落ち込まないでよ、ね？）
feel let downで「落ち込む」という意味を表します。

彼らにはわだかまりがある を英語で教えて!

There is bad blood between them.
（彼らの間にはわだかまりがある）
bad blood というのは「悪感情」や「わだかまり」という意味を表し非常に口語的です。直接的には「悪い血」となりますが、比喩的にこのように使われます。

またbad feelingsやhard feelingsでも同様の意味を表します。
There is bad feelings between them.
（彼らの間にはわだかまりがある）

次のように「確執」という意味のfeudを使っても同じ意味になります。
There is a feud between them.
（彼らの間には確執がある）

一か月後に出国します を英語で教えて!

I'm going to leave here in a month.
（一か月後にここを離れます）

勿論、以下の様にbe動詞 going toの代わりにwillを使っても構いません。またbe動詞＋ing形にしても構いません。leaveの代わりに動詞departを使ってもいいですが、それだとかなり堅苦しい表現になってしまいます。
I will leave here in a month.
I'm leaving here in a month.
（一か月後にここを離れます）

また、国を強調したければhereの代わりにthis countryを使っても同じ意味になります。
I'm going to leave this country in a month.
（この国を一か月後に離れます）

恐怖で手足が動かせなかった を英語で教えて!

I was paralyzed with fear.
(私は恐怖で固まってしまった)
動詞paralyze「～を麻痺させる」という表現を使ったものです。

他には次のような表現があります。
I was frozen in fear.
（恐怖で体が固まってしまった）
この表現は動詞freeze「～を凍らせる」を使ったものです。この表現は氷の様に体が固まってしまったということを示す表現ですので、お求めの状況に近い意味を現していると思います。

次のように動詞terrify「～を怖がらせる」を使ってもよいですが、これだと手足が凍って動かなくなってしまったというニュアンスが出せません。
I was terrified.
（怖かった）

メールで追って連絡します を英語で教えて!

I'll email you later.
（後でメールします）
動詞emailを使った回答です。

他には次のような言い方があります。
I'll send you an email later on.
（後でメールします）
こちらは名詞emailを使った回答です。

また動詞textを使って次のように言うことも出来ます。
I will text you later on.
（後であなたにメールします）

Later on, I will get in touch with you by e-mail.
（後であなたにメールします）
こちらは、get in touch with someone 「～に連絡を取る」という表現を使ったものです。