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あおむけになってください を英語で教えて!

Lie on your back please.
（仰向けになって下さい）
lie on ones backで「仰向けになる」という意味です。逆にlie on your stomachで「うつ伏せになる」という意味です。

誰かに何かを頼むときにはcan you～?やcould you～?、命令形を使うのが一般的ですがその違いに軽く触れようと思います。
今回の「仰向けになって下さい」というセリフは状況的にお客様にそうしていただかなければ施術が進まず、お客様がそれに対して出来ないと答えることは基本あり得ません。このような必然のお願いの場合、命令形を使うのが普通です。丁寧にしたければ命令形にpleaseを加えましょう。
can you～?やcould you～?を使うと依頼のニュアンスが強く出てしまい、Can you～?であればシチュエーションによってはあり得ますが、それを丁寧にしたcould you～?だと依頼のニュアンスが強すぎて不自然になります。
仮にここで、Could you lie on your back?と言ったら、ニュアンスとしては「仰向けになってくれた方がやりやすいので仰向けになってもらってもいいですか？」という感じに聞こえます。

それじゃ始めましょう を英語で教えて!

Ok, so let's get started.
（よしっ、それじゃあ始めましょうか）
Let's get startedで「始めましょう」という意味になります。これは非常によく使われる表現であり、Let's startよりも使用頻度が高い表現です。勿論、Let's startが間違っているわけではありません。

他にも同じような意味を表す表現を紹介します。
Ok, so Let's begin.
（よし、それじゃあ始めましょう）

また、この質問者様の質問では具体的に料理を始めるという状況に限定されていますので、次のような表現も可能です。
So, it's time to cook now!
（じゃ、もう料理を始めます！）

また残業？ を英語で教えて!

Extra work again... isn't it?
（もしかして... また残業？）
こちらはかなりカジュアルな表現です。省略箇所を補えば、It is extra work again... isn't it?となります。
最初のit isを省略することでかなりカジュアルになります。

残業を表すフレーズをいくつか紹介します。
I have to work overtime tonight to finish this project.
（このプロジェクトを終わらせるために、今夜は残業しなくてはならない）
work overtimeは「残業する」という意味を表します。

I need to put in extra hours at work.
（残業する必要がある）
put in extra hours at workで「残業する」という意味を表します。

寄付を募ったらどうかな？ を英語で教えて!

Why don't we collect contributions?
（寄付金を募ったらどうかな？）
Why don't we ～？という表現は、どちらかというと「私達、～したほうがいいね」というニュアンスが強く出ます。この例で説明すると、「寄付金を募ったほうがいいんじゃない？」という意味になります。

選択肢の一つとして、何かを提案したければ次のように、How about～?を使いましょう。
How about collect contributions?
（寄付金を集めるのはどう？）

また、寄付金を集めるという表現もいくつか紹介します。
invite donations（寄付を請う）
raise a subscription（寄付を募る）

視界をさえぎられた を英語で教えて!

Something blocked out a view of me.
（視界を遮られた）
もし主語を「紙」だとしっかり明示したければ、主語のsomethingの部分はsome paperなどに置き換えてください。

また、他にも「視界を遮る」という意味を表す表現を例文とともに紹介しておきます。
My view was obstructed.
（私の視界が遮られた）
obstruct someone's viewで「～の視界を遮る」という意味を表します。

I couldn't see very well because of the paper in front of me.
（目の前に紙があってよく見えなかった）

The bird was in the way.
（鳥が邪魔だった）
in the wayは何かが主語の進路にいたり、主語を邪魔していることを表す表現です。