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単語は、「じっと考え込む」は「think(動詞) motionlessly(副詞)」の語の組み合わせで表現します。 構文は、「~していた」の内容なので「be動詞過去形+動詞の現在分詞」の過去進行形の構文形式で表します。主語(friend)の後にbe動詞過去形、動詞の現在分詞(thinking)、副詞句(何かをじっと:about something motionlessly)を続けて構成します。 たとえば"My friend was thinking about something motionlessly."とすればご質問の意味になります。 また「考える」を「熟考する」の「mull over」に代えて"My friend was mulling over something motionlessly."としても良いです。

単語は、「~のもとに」は接続詞的な慣用表現である「subject to」を使います。「約束のもとに」は「subject to the promise」と表現する事ができます。 構文は、前半を第三文型(主語[I]+動詞[lent]+目的語[it])に副詞句(友達に:to my friend)を組み合わせて構成します。その後に前段解説の「subject to the promise」を置いて、「promise」を先行詞とした関係代名詞修飾節「今回だけという:that it would be just this time」を続けて構成します。 たとえば"I lent it to my friend subject to the promise that it would be just this time."とすればご質問の意味になります。

単語は、「~の元」は「~の原料」のニュアンスで「source ingredient of something」と表現します。 構文は、第二文型(主語[source ingredient of miso paste]+動詞[be動詞]+主語を補足説明する補語[soybeans])で構成します。 たとえば“The source ingredient of miso paste is soybeans.”とすればご質問の意味になります。 アレンジですが、「麹:malts」も原料なので“The source ingredients of miso paste are soybeans and malts.”としても良いでしょう。

単語は、「素材の持ち味」は「素材本来の味」のニュアンスで「natural flavors of the ingredients」と表現します。 構文は、第一文型(主語[I]+動詞[want])に名詞的用法のto不定詞「料理を考案すること:to create dishes」、「dishes」を先行詞にする関係代名詞修飾節「素材の持ち味を生かした:that take advantage of the natural flavors of the ingredients」を続けて構成します。 たとえば“I want to create dishes that take advantage of the natural flavors of the ingredients.”とすればご質問の意味になります。 また動詞を「活かす」を意味する「exploit」に代えて“I want to create dishes that exploit the natural flavors of the ingredients.”としても良いです。

単語は、「噂のもと」は「source of rumors」の語の組み合わせで表現します。「作り話」は「made-up story」、或いは「空想話」のニュアンスで「figment」としても良いです。 構文は、第二文型(主語[friend's made-up story]+動詞[became]+主語を補足説明する補語[source of rumors])で構成します。 たとえば"My friend's made-up story became the source of rumors."とすればご質問の意味になります。 または「~になる」を複合動詞「turn into」で表し"My friend's figment turned into the source of rumors."としても良いです。